In un riferimento cartesiano nello spazio $O x y z$, data la retta $r$ di equazioni:
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=2 t+1 \\
y=1+t \\
z=k t
\end{array}\right.
$$
e il piano $P$ di equazione:
$$
x+2 y-z+2=0
$$
determinare per quale valore di $k$ la retta $r$ e il piano $P$ sono paralleli, e la distanza tra di essi.
(Esame di Stato, Liceo scientifico, Corso di ordinamento, Sessione straordinaria, 2015, quesito 9)
$$
\left[k=4, \frac{5}{6} \sqrt{6}\right]
$$
462
punti
Livello 1
il vettore direzione della retta é (2, 1, k)
la normale al piano é (1 2 -1)
devono essere perpendicolari 2*1 + 1*2 + k*(-1) = 0 da cui k = 4
per la seconda parte devi considerare la distanza tra P(t) = (2t+1, 1+t, 4t)
e il piano che é |2t+1 + 2(1+t) - 4t + 2|/sqrt(1+4+1) = 5/rad(6) = 5/6 * rad(6).
58347
punti
Livello 7
Piano e retta sono paralleli se e solo se il sistema delle loro equazioni è impossibile, cioè se sostituendo le espressioni parametriche nel primo membro del piano si ottiene un'equazione impossibile
* π ≡ x + 2*y - z + 2 = 0 ≡
≡ (2*t + 1) + 2*(1 + t) - (k*t) + 2 = 0 ≡
≡ (4 - k)*t + 5 = 0
che, per k = 4, diventa "5 = 0", ovviamente impossibile.
La retta così individuata ha come punto cursore
* P(2*t + 1, t + 1, 4*t)
la cui distanza da π è
* |Pπ| = 5/√6
57798
punti
Genius I
