[Risolto] mate

@ciao_

Ciao di nuovo.

x^2 + y^2 - 2·(k - 3)·x + 4·k·y + 9 = 0

Deve essere reale

a = - 2·(k - 3)

b = 4·k

c = 9

Si riconosce il centro e l'eventuale raggio r reale:

[k - 3, - 2·k]

r = √((k - 3)^2 + (2·k)^2 - 9)------> r = √((k^2 - 6·k + 9) + 4·k^2 - 9)

r = √(5·k^2 - 6·k)

deve essere: 5·k^2 - 6·k ≥ 0------> k ≤ 0 ∨ k ≥ 6/5

--------------------------------------------------------------------

Ha centro su y=-4

- 2·k = -4------> k = 2

-------------------------------------------------------------------

Passa da (2,-1)

2^2 + (-1)^2 - 2·(k - 3)·2 + 4·k·(-1) + 9 = 0

26 - 8·k = 0------> k = 13/4

-------------------------------------------------------------------

Ha raggio r =2·√2

√(5·k^2 - 6·k) = 2·√2-------------> k·(5·k - 6) - 8 = 0

5·k^2 - 6·k - 8 = 0--------> k = - 4/5 ∨ k = 2

----------------------------------------------------------

Ha centro C: C(x, -x + 1)

Deve essere:

{k - 3 = x

{- 2·k = -x + 1

Risolvi ed ottieni: [x = -7 ∧ k = -4]

L'equazione parametrica
* Γ(k) ≡ p(x, y) ≡ x^2 + y^2 - 2*(k - 3)*x + 4*k*y + 9 = 0
in quanto polinomio di grado due in (x, y) eguagliato a zero rappresenta un fascio di coniche caratterizzate da:
* assenza del termine rettangolare;
* presenza di entrambi i termini quadrati concordi e non parametrici;
e che pertanto sono circonferenze per ogni valore reale di k.
Le circonferenze, secondo il quadrato del raggio, cadono in tre categorie che è facile distinguere ricavando la forma normale standard dalla forma normale canonica data.
* Γ(k) ≡ p(x, y) ≡ x^2 + y^2 - 2*(k - 3)*x + 4*k*y + 9 = 0 ≡
≡ x^2 - 2*(k - 3)*x + y^2 + 4*k*y + 9 = 0 ≡
≡ (x - (k - 3))^2 - (k - 3)^2 + (y + 2*k)^2 - (2*k)^2 + 9 = 0 ≡
≡ (x - (k - 3))^2 + (y + 2*k)^2 = (5*k - 6)*k
questa rappresenta un fascio di circonferenze con centri C(k - 3, - 2*k) il cui luogo è la retta
* y = - 2*(x + 3)
e raggio r la radice quadrata del termine noto
* q = r^2 = (5*k - 6)*k
da cui le tre categorie di circonferenze.
---------------
A) (5*k - 6)*k < 0 ≡ 0 < k < 6/5: non reali.
B) (5*k - 6)*k = 0 ≡ (k = 0) oppure (k = 6/5): reali, ma degeneri sul centro.
C) (5*k - 6)*k > 0 ≡ (k < 0) oppure (k > 6/5): reali e non degeneri.
---------------
ATTENZIONE: il risultato atteso considera circonferenze solo quelle della categoria C.
Si tratta di un ERRORE CONCETTUALE dovuto probabilmente a un'indebita estensione delle idee della geometria euclidea a quella analitica dove invece la classificazione delle coniche si fa in base ai valori degl'invarianti e non alla forma del grafico.
Basandosi sulla forma del grafico: le A e B sono o punti o coppie di rette.
==============================
RISPOSTE AI QUESITI
------------------------------
a) yC = - 4 ≡ - 2*k = - 4 ≡ k = 2
---------------
b) per (2, - 1): (2 - (k - 3))^2 + (- 1 + 2*k)^2 = (5*k - 6)*k ≡ k = 13/4
---------------
c) r = 2*√2: q = r^2 = (5*k - 6)*k = 8 ≡ (k = - 4/5) oppure (k = 2)
---------------
d) yC = 1 - xC ≡ - 2*k = 1 - (k - 3) ≡ k = - 4