mate

Il regolamento impone che tu possa postare al massimo un esercizio per domanda, quindi risolvo solo il 360.

Iniziamo trovando i punti d'intersezione tra $xy=4$ e $y=-x+5$ mettendo a sistema le due equazioni:

$\begin{cases} xy=4 \\ y=-x+5 \end{cases}$

$\begin{cases} y= \dfrac{4}{x} \\ y=-x+5 \end{cases}$

Sostituisco $y$ nella seconda e risolvo:

$\dfrac{4}{x}=-x+5$

$x^2-5x+4=0$

Fattorizzando il trinomio caratteristico ottengo

$(x-1)(x-4)=0$

$x=1 \implies y=\dfrac{4}{x}= 4,\ x=4 \implies y=\dfrac{4}{x}=1$.

Le intersezioni sono $A (1,4)$ e $B(4,1)$.

La circonferenza deve passare per i punti $A$, $B$ e $C$. Piuttosto che risolvere un sistema a tre incognite, preferisco trovare la circonferenza circoscritta al triangolo $ABC$, quindi calcolo le equazioni degli assi. Calcolo l'asse di $\overline{AB}$:

$(x-A_x)^2+(y-A_y)^2=(x-B_x)^2+(y-B_y)^2$

$(x-1)^2+(y-4)^2=(x-4)^2+(y-1)^2$

Ti risparmio i calcoli, l'equazione si semplifica alla fine a $y=x$.

Ora l'asse di $\overline{BC}$:

$(x-4)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y+2)^2$

Che dopo le dovute semplificazioni si riduce a $x+3y-2=0$.

Il circocentro di $ABC$ è l'intersezione di questi due assi.

$\begin{cases} y=x \\ x+3y -2 = 0 \end{cases}$

$y+4y-2 = 0 \implies y = \dfrac{1}{2}$, dato che $y=x$ anche $x=\dfrac{1}{2}$. Il circocentro di $ABC$ è quindi $D \left ( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right )$. Resta da trovare il raggio, che è semplicemente la distanza da $D$ ad uno dei tre punti di $ABC$, quindi:
$r^2 = (D_x-A_x)^2+(D_y-A_y)^2=\left ( \dfrac{1}{2} -1 \right )^2 +\left (\dfrac{1}{2}-4 \right )^2 = \dfrac{50}{4}$.

L'equazione della circonferenza è:

$\left ( x-\dfrac{1}{2}\right )^2+\left ( y-\dfrac{1}{2}\right )^2=\dfrac{50}{4}$

Che sviluppata è $x^2+y^2-x-y-12=0$.

Troviamo i punti d'intersezione tra la circonferenza e l'iperbole:

$\begin{cases} xy=4 \\ x^2+y^2-x-y-12=0 \end{cases}$

$\begin{cases} y=\dfrac{4}{x} \\ x^2+y^2-x-y-12=0 \end{cases}$

Sostituisco nella seconda:

$x^2 + \dfrac{16}{x^2}-x-\dfrac{4}{x}-12=0$

Moltiplico tutto per $x^2$:

$x^4-x^3-12x^2-4x+16=0$ (per brevità indico questa equazione con $\gamma$)

So che l'equazione ha come soluzioni $x=1$ e $x=4$, perché sappiamo che due delle soluzioni al sistema sono i punti $A$ e $B$. Applico il teorema di Ruffini due volte, prima divido per $x-1$:

$(x-1)(x^3-12x-16)=0$ è equivalente a $\gamma$, ora applico di nuovo il teorema dividendo per $x-4$:

$(x-1)(x-4)(x^2+4x+4)=0$

$(x-1)(x-4)(x+2)^2=0$

(Ti risparmio l'orrore delle tabelle fatte con Paint)

Abbiamo un fattore $x+2$ con molteplicità $2$; questo significa che l'iperbole e la circonferenza sono tangenti nel punto di ascissa $x=-2$. Sapendo che $y=\dfrac{4}{x}$, otteniamo che $y=-2$, quindi $T(-2,2)$.

Ecco un grafico che rappresenta completamente la soluzione al problema.