Troviamo i punti di massimo, di minimo e di flesso orizzontale della funzione $f(x)=x^4-\frac{8}{3} x^3+2 x^2$ con il metodo delle derivate successive.
La funzione è definita per ogni $x \in \mathbb{R}$.
- Calcoliamo $f^{\prime}(x)$ e $f^{\prime \prime}(x)$ :
$$
f^{\prime}(x)=4 x^3-8 x^2+4 x=4 x\left(x^2-2 x+1\right)=4 x(x-1)^2 ; \quad f^{\prime}(x)=12 x^2-16 x+4 .
$$
- Poniamo $f^{\prime}(x)=0: 4 x(x-1)^2=0 \rightarrow x_1=0 \vee x_2=1$.
- Poiché $f^{\prime}(0)=0$ e $f^*(0)=4>0$, in $x_1=0$ si ha un minimo.
- Dato che $f^{\prime}(1)=0$ e $f^*(1)=0$, calcoliamo la derivata terza: $f^*(x)=24 x-16 \rightarrow f^*(1)=8$.
Poiché $f^{\prime}(1)=0, f^*(1)=0$ e $f^*(1) \neq 0$, allora $x_2=1$ è un punto di flesso orizzontale. Si tratta di un flesso orizzontale ascendente, perché $f^{(}(1)=8>0$.
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Buonasera. Seguendo l’esercizio guida che allego, dovrei volgere questo esercizio che mi chiede di trovare massimi minimi e flessi
