Determinare il massimo e il minimo assoluto di $f(x, y)=x^2+y^2-2 x+2$ nel dominio $D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2 \leq 4\right\}$.
Allego la risoluzione dell'esercizio che segue per il controllo.
Determinare il massimo e il minimo assoluto di $f(x, y)=x^2+y^2-2 x+2$ nel dominio $D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2 \leq 4\right\}$.
Allego la risoluzione dell'esercizio che segue per il controllo.
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Livello 2
Ciao
z = x^2 + y^2 - 2·x + 2
C.N.
{z'x=0
{z'y=0
quindi:
{2·x - 2 = 0
{2·y = 0
Quindi un solo punto critico : [x = 1 ∧ y = 0]
L'Hessiano è:
|z''xx........z''xy|
|z''yx........z''yy|
quindi:
|2.......0|
|0.......2|
H(x,y)=4>0 e z''xx=2>0
facile riconoscere che appartiene al dominio assegnato che è un cerchio con centro nell'origine.
Quindi il punto critico trovato è oltre un minimo relativo anche un minimo assoluto.
Il valore di tale minimo è:
z = 1^2 + 0^2 - 2·1 + 2-----> zmin=z = 1
Con il metodo delle linee di livello poi, puoi andare a determinare l'ultima linea di livello che tocca il dominio chiuso e limitato dalla circonferenza suddetta. Troverai un punto che è il massimo assoluto vincolato.
In corrispondenza di A(-2,0) hai:
zmax=z = (-2)^2 + 0^2 - 2·(-2) + 2 = 10
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Genius III
@lucianop grazie sign. Luciano, quindi non avrei dovuto utilizzare il metodo dei molteplicatori di Lagrange?
Ciao. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange va bene lo stesso: forse bisogna stare un po' attenti ai calcoli.
@lucianop ok.
Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
L= x^2 + y^2 - 2·x + 2 + λ·(x^2 + y^2 - 4)
C.N.
{2·x·(λ + 1) - 2 = 0
{2·y·(λ + 1) = 0
{x^2 + y^2 - 4 = 0
Punti critici: x = 2 ∧ y = 0 ∧ λ = - 1/2 ; x = -2 ∧ y = 0 ∧ λ = - 3/2
Hessiano orlato:
|0..........2x............2y|
|2x...2·(λ + 1)..........0|
|2y.........0....2·(λ + 1)|
=- 8·x^2·(λ + 1) - 8·y^2·(λ + 1)
Assume valore:
- 8·2^2·(- 1/2 + 1) - 8·0^2·(- 1/2 + 1)= -16 <0
minimo assoluto vincolato
- 8·(-2)^2·(- 3/2 + 1) - 8·0^2·(- 3/2 + 1) = 16 >0
massimo assoluto vincolato.
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Genius III
@lucianop grazie infinite sig. Luciano.
Di nulla. Se hai altri esercizi simili in cui hai qualche difficoltà, postali, che passo il tempo rendendomi utile. Ciao.
