[Risolto] Logaritmi

COME FARE STEP BY STEP
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A) Rammentare che la funzione "log(base, argomento)" è definita se e solo se
* (argomento != 0) & (base ∉ {0, 1})
e quindi che ogni equivalenza (passaggio algebrico) dev'essere condizionata da questa restrizione.
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B1) Applicare la proprietà "somma di logaritmi nella stessa base".
* log(b, 3*x - 1) + log(b, x - 2) = log(b, 22) ≡
≡ (log(b, (3*x - 1)*(x - 2)) = log(b, 22)) & ((3*x - 1)*(x - 2) != 0) & (b ∉ {0, 1}) ≡
≡ (log(b, 3*x^2 - 7*x + 2) = log(b, 22)) & (x ∉ {1/3, 2}) & (b ∉ {0, 1})
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B2) Applicare le proprietà "multiplo di logaritmo" e "differenza di logaritmi nella stessa base".
* log(2, 8*x) - 2*log(2, x) = 3 ≡
≡ (log(2, 8*x) - log(2, x^2) = 3) & ((8*x)*(x) != 0) ≡
≡ (log(2, 8*x/x^2) = 3) & (x != 0) ≡
≡ (log(2, 8/x) = 3) & (x != 0)
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C) Applicare le proprietà "u = v ≡ b^u = b^v" e "b^log(b, a) = a".
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* (log(b, 3*x^2 - 7*x + 2) = log(b, 22)) & (x ∉ {1/3, 2}) & (b ∉ {0, 1}) ≡
≡ (b^log(b, 3*x^2 - 7*x + 2) = b^log(b, 22)) & (x ∉ {1/3, 2}) & (b ∉ {0, 1}) ≡
≡ (3*x^2 - 7*x + 2 = 22) & (x ∉ {1/3, 2}) & (b ∉ {0, 1}) ≡
≡ (x^2 - (7/3)*x - 20/3 = 0) & (x ∉ {1/3, 2}) & (b ∉ {0, 1}) ≡
≡ ((x + 5/3)*(x - 4) = 0) & (x ∉ {1/3, 2}) & (b ∉ {0, 1})
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* (log(2, 8/x) = 3) & (x != 0) ≡
≡ (2^log(2, 8/x) = 2^3) & (x != 0) ≡
≡ (8/x = 8) & (x != 0)
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D) Esibire il risultato
* log(b, 3*x - 1) + log(b, x - 2) = log(b, 22) ≡ (x = - 5/3) oppure (x = 4)
* log(2, 8*x) - 2*log(2, x) = 3 ≡ x = 1

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AGGIUNTA dopo aver letto "La prima non è accettabile" nella risposta di @LucianoP.
Vero è!
Per x = - 5/3 il primo membro non vale, come dovrebbe, ln(22)/ln(b).
Vale invece (ln(22) + i*2*π)/ln(b), con una parte immaginaria che non soddisfà all'eguaglianza.

Sono tre equazioni logaritmiche da risolvere.

Ti svolgo solo la prima come da:

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

LOG(3·x - 1) + LOG(x - 2) = LOG(22)

C.E.

{3·x - 1 > 0

{x - 2 > 0

quindi [x > 2]

LOG((3·x - 1)·(x - 2)) = LOG(22)

stessa base:

(3·x - 1)·(x - 2) = 22----> 3·x^2 - 7·x + 2 = 22

3·x^2 - 7·x - 20 = 0----> x = - 5/3 ∨ x = 4

La prima non è accettabile.