Ciao! facciamo un po' di chiarezza: $\lim_{x\to 0} \frac{0}{x}$ non è una forma indeterminata, è zero (puoi convincertene facilmente guardando la definizione di limite).
Una forma indeterminata è, per esempio, quando hai $ \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ dove f e g tendono a zero, ma c'è una differenza sostanziale tra dire che f tende a 0 e che f E' 0.
Se ti è più comodo puoi vederla anche così nel caso che hai proposto: $f\left(x,\ y\right)$ è nulla sugli assi (quando una delle due variabili è nulla) in particolare è costante sugli assi (costantemente = 0) e quindi le sue derivate direzionali nell'origine devono essere necessariamente entrambe nulle, pensando alle derivate direzionali come derivate delle restrizioni di f agli assi x e y.
Per quanto riguarda il secondo limite, applica semplicemente la definizione di derivata direzionale, secondo cui, se $v$ è un versore, allora la derivata direzionale di $f$ lungo $v$ calcolata nel punto $x_0$ è $D_{v}\ \left(f\left(x_{0}\right)\right)=\lim_{x\to 0} \frac{f\left(x_{0}+t\cdot v\right)-f\left(x_{0}\right)}{t} $ e nell'ultimo passaggio applica l'asintotico $\sin\left(x\right) \sim x$ per $x \to o$.
Spero sia sufficientemente chiaro ?