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[Risolto] limiti finiti al finito in due variabili

  

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CIAO!

il file allegato è l'esercizio tipo che ho bisogno di imparare a svolgere.

in particolare non capisco in che modo sono stati svolti i due limiti, infatti se i primi due, che corrispondono alle derivate parziali secondo definizione, sostituendo portano a 0/t; e t--->0  come mai viene eguagliato a zero? non è una forma di indeterminazione?

e invece il limite associato alla derivata direzionale? come viene svolto?

esercizio 40

 

 

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Ciao! facciamo un po' di chiarezza: $\lim_{x\to 0} \frac{0}{x}$ non è una forma indeterminata, è zero (puoi convincertene facilmente guardando la definizione di limite).

Una forma indeterminata è, per esempio, quando hai $ \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$ dove f e g tendono a zero, ma c'è una differenza sostanziale tra dire che f tende a 0 e che f E' 0.

Se ti è più comodo puoi vederla anche così nel caso che hai proposto: $f\left(x,\ y\right)$ è nulla sugli assi (quando una delle due variabili è nulla) in particolare è costante sugli assi (costantemente = 0) e quindi le sue derivate direzionali nell'origine devono essere necessariamente entrambe nulle, pensando alle derivate direzionali come derivate delle restrizioni di f agli assi x e y.

Per quanto riguarda il secondo limite, applica semplicemente la definizione di derivata direzionale, secondo cui, se $v$ è un versore, allora la derivata direzionale di $f$ lungo $v$ calcolata nel punto $x_0$ è $D_{v}\ \left(f\left(x_{0}\right)\right)=\lim_{x\to 0} \frac{f\left(x_{0}+t\cdot v\right)-f\left(x_{0}\right)}{t} $ e nell'ultimo passaggio applica l'asintotico $\sin\left(x\right) \sim x$ per $x \to o$.

Spero sia sufficientemente chiaro ? 



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15842018939351407300448

 

 



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