[Risolto] Limiti di funzioni reali di variabile reale

Il lato AB=l ha angoli adiacenti:

α = x

β = 2·x

l'angolo opposto vale: γ = pi - (α + β) = pi - (x + 2·x)

γ = pi - 3·x

Deve essere quindi:

0 < γ < pi-----> 0 < pi - 3·x < pi-----> 0 < x < pi/3

tramite il teorema dei seni, possiamo calcolarci il perimetro:

p = l + a + b con a e b i lati opposti ad α e β

per tale teorema sono uguali i rapporti:

l/SIN(pi - 3·x)=l/SIN(3·x)

a/SIN(x) = l/SIN(3·x)---------> a = l·(SIN(x)/SIN(3·x))

b/SIN(2·x) = l/SIN(3·x)------> b = l·(SIN(2·x)/SIN(3·x))

Quindi la funzione in esame è:

p = l + l·(SIN(x)/SIN(3·x)) + l·(SIN(2·x)/SIN(3·x)) con 0 < x < pi/3

Vediamo i limiti richiesti:

LIM(SIN(x)/SIN(3·x)=1/3

x----> 0+

LIM(SIN(2·x)/SIN(3·x))= 2/3

x---->0+

quindi risulta:

per x--> 0+ p---> l + l·1/3 + l·2/3= 2l

cioè il triangolo tende a rinchiudersi su sé stesso.

D'altra parte i due limiti precedenti forniscono come risultato per x-->pi/3-: +inf

dal punto di vista geometrico significa che i lati a e b del triangolo tendono ad essere paralleli

( cioè α e β tendono a diventare angoli supplementari)

Puoi usare il teorema dei seni dopo aver osservato che il terzo angolo é pi - x - 2x

e che sin (pi - 3x) = sin 3x

Così  L/(sin 3x) = L'/sin x = L''/(sin 2x)

da cui   P(x) = L (sin x + sin 2x + sin 3x) / (sin 3x)

i confini di validità sono 0 e 60°.

Una condizione necessaria (e, oserei dire, indispensabile!) affinché il problema abbia significato è che esso sia chiaramente enunciato (in italiano corretto e privo di equivoci) PRIMA di chiedere altre condizioni necessarie.
Tu hai dimenticato di farlo e ti sei limitata, come al solito, a pubblicare una foto di qualità discutibile.