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[Risolto] Limiti

  

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Data la funzione $f(x)=\sqrt{x}$, risulta $\lim _{x \rightarrow 4} f(x)=2$. Ciò significa, in base alla definizione, che $\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0$ tale che $0<|x-4|<\delta \Rightarrow|f(x)-2|<\varepsilon$. In figura è rappresentata l'interpretazione geometrica di tale definizione, in corrispondenza di un particolare valore di $\varepsilon$. Deduci dal grafico qual è il valore di $\varepsilon$ che è stato fissato e qual è il corrispondente massimo valore di $\delta$ che soddisfa la definizione di limite.

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Definizione di limite.

Spiegare e argomentare i vari passaggi.

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a.  dalla definizione di limite

$ |f(x)-2| \lt ε $

$ -ε \lt f(x)-2 \lt ε $

$ 2-ε \lt f(x) \lt 2+ε $

dalla figura segue che ε = 0,1

 

b.   dalla $ 0 < |x-4| < δ $

$ -δ < x-4 < δ$    con  x ≠ 4

$ 4-δ < x < 4+ δ$

ora 

  • a sinistra $ 4 - δ_s = 4 - 3,61 = 0,39 $
  • a destra $ 4 + δ_d = 4,41 - 4 = 0,41 $

Il massimo valore di δ che soddisfa la definizione di limite è il valore minimo dei due δ precedenti

$ δ = min \{δ_s, δ_d \} = 0,39 $ 



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SOS Matematica

4.6
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