Definizione di limite.
Spiegare e argomentare i vari passaggi.
Definizione di limite.
Spiegare e argomentare i vari passaggi.
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Livello 2
Primo passo verificare se il limite a senso determinando il Dominio
Si tratta di dimostrare l'esistenza del parametro M, infatti dalla definizione di limite
$ \forall ε > 0 \quad \exists M > 0 \; | \; |\frac{3x-1}{x+1} - 3| < ε \quad \forall x \in D \, \text { con } x > M $
Il punto di partenza è la disequazione
$ |\frac{3x-1}{x+1} - 3| < ε $
$ |\frac{3x-1 - 3x - 3}{x+1} | < ε $
$ |\frac{-4}{x+1}| < ε $
$ \frac{|-4|}{|x+1|} < ε $
$ \frac{4}{|x+1|} < ε $ Son tutti termini positivi
$ \frac{4}{ε} < |x+1| $ Il limite è per x → +∞, possiamo considerare che le x siano positive
$ \frac{4}{ε} < x+1 $
$ x > -1 + \frac{4}{ε} $
Proponiamo come M il termine
$ M = -1 + \frac{4}{ε}$
nota. Nella definizione che M sia positivo, non è necessario, è sufficiente che sia un numero reale.
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Livello 6