La funzione dell'esercizio è un caso di funzione definita a tratti, dunque studio il dominio nelle due funzioni definite in un intervallo di rispettivamente $x\,<\,0$ e $x\, \geq \,0$.
In $\sqrt[]{4 - e^{x}}$ il dominio è definito per $4 - e^{x}\, \geq \,0 \,\, \longrightarrow \,\, 4 \geq e^{x}$ da cui ricavo ponendo il logaritmo naturale a primo e secondo membro $2\cdot ln(2) \geq x$
Il dominio è dato da tutti i valori di $x \leq 2\cdot log(2)$, ma siccome la funzione è definita per $x < 0$ allora il dominio di questa sotto funzione è $(-\infty,0]$.
La seconda sotto funzione si può riscrivere come $\frac{1}{-ln(x)}$ e si impone che $-ln(x) \neq 0$, e cioè $x \neq 1$. Non c'è bisogno di imporre $x>0$ perchè è l'insieme di valori su cui questa sotto funzione è definita.
Unendo questo sottodominio con quello trovato prima , si ha che il dominio totale è : $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.
Per studiare il segno basta imporre le funzioni $> 0$ e nel primo caso trovo che $x< 2\cdot ln(2)$, mentre nel secondo caso $x<1$. La funzione ha valori positivi per tutte le $x<1$.
La prima sotto funzione non interseca l'asse y per $x\leq 0$, ma interseca l'asse $x$ in $\sqrt[]{3}$ ; la seconda sotto funzione non interseca gli assi.
Per calcolare i limiti basta vedere che per il limite di $x$ che tende a meno infinito bisogna agire su $\sqrt[]{4 - e^{x}}$, di conseguenza l'esponenziale va a zero e la radice di $4$ vale $2$.
Il secondo limite agisce sulla sotto funzione $\frac{1}{-ln(x)}$ , il logaritmo va a $-\infty$ e di conseguenza il limite vale $0^{-}$.
Il ragionamento sugli altri due limiti è analogo e li lascio a te.
