[Risolto] Limite in due variabili

Problema:

Si individui il valore, se esiste, del seguente limite in due variabili:

$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{|\sin x|}{\sin x}\cosh y$

Soluzione:

Il limite può essere riscritto come segue:

$\sin x ≥0 \rightarrow 2kπ≤x≤π+2kπ, k\in \mathbb{Z}: \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{e^y + e^{-y}}{2}$

$\sin x <0 \rightarrow π+2kπ≤x≤π(2+k), k \in \mathbb{Z}: \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} -\frac{e^y + e^{-y}}{2}$

Il limite per esistere deve essere il medesimo per ciascuna delle infinite direzioni di avvicinamento al punto dato.

$\lim_{y \rightarrow 0} \frac{e^y + e^{-y}}{2}=1$

$\lim_{y \rightarrow 0} -\frac{e^y + e^{-y}}{2}=-1$

Dato che i valori ottenuti risultano diversi tra loro, il limite non esiste.

Nota: il risultato ottenuto sembra corrispondere al grafico, però non avendo ancora affrontato l'argomento formalmente, dato che ho finito le superiori quest'anno, le conviene attendere un'ulteriore risposta come conferma.

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos 3D.

Confermo il risultato.

E' sufficiente scegliere come percorso l'asse delle ascisse e verificare che il limite destro è diverso dal limite sinistro; quindi, tale limite "non esiste", o meglio esiste ma è indeterminato.

• Equazione asse delle x. ⇒ y = 0 dove il cosh(0) = 1

$\displaystyle\lim_{(x,0) \to (0,0)} \frac{|sinx|}{sinx} \cdot cosh(0) $

Osserviamo che la funzione $\frac{|sinx|}{sinx}$ non è altro che la funzione segno del seno quindi vale

$\begin{cases} 1 &\text{ se $x \gt 0 $} \\ -1  &\text{ se $x \lt 0 $} \end{cases} $

Risultato

$\displaystyle\lim_{(x,0) \to (0^+,0)} \frac{|sinx|}{sinx} \cdot cosh(0) = +1$

$\displaystyle\lim_{(x,0) \to (0^-,0)} \frac{|sinx|}{sinx} \cdot cosh(0) = -1$

Abbiamo trovato due percorsi con limiti diversi, il limite dato risulta indeterminato.