[Risolto] Limite esponenziale

Ciao!

Ricordiamo che $ f(x) = e^{\log(f(x))} $

Quindi nel nostro caso:

$(\frac{3x-2}{x+1})^\frac{x-1}{2x} = e^{\log((\frac{3x-2}{x+1})^\frac{x-1}{2x} ) } =$

$= e^{\frac{x-1}{2x}\log(\frac{3x-2}{x+1}) }$

per la proprietà dei logaritmi che dice $\log(x^n) = n \log(x)$.

Siamo pronti a svolgere il limite: 

$\lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{x-1}{2x}\log(\frac{3x-2}{x+1}) } = \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{x(1-1/x)}{2x}\log(\frac{x(3-2/x)}{x(1+1/x)}) } = $

$= \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\frac{1}{2}\log(\frac{3}{1}) } =$

Usiamo la proprietà dei logaritmi ma al contrario, rimettendo la frazione a esponente dell'argomento del logaritmo:

$= \lim_{x \rightarrow +\infty} e^{\log(3^\frac{1}{2}) } =3^\frac{1}{2} = \sqrt{3} $

In questo caso non era davvero necessario il passaggio all'esponenziale, perché risolvendo separatamente le forme indeterminate trovate all'interno della parantesi e all'esponente della funzione iniziale trovavi già questa soluzione.

Ho ritenuto comunque di farlo così per farti vedere una tecnica che torna spessissimo utile nel caso di funzione elevata ad un'altra funzione!

il limite non è una forma indeterminata.

Quando x tende a +infinito contano i termini di grado massimo nelle espressioni polinomiali. quindi: 

$\frac{3x-2}{x+1}$ diventa $\frac{3x}{x}$ cioè tende a 3 semplificando la $x$

l'esponente 

$\frac{x-1}{2x}$ diventa: $\frac{x}{2x}$ e semplificando $x$ tende a $1/2$.

in totale il limite risulta $3^{1/2}=\sqrt{3}$