Limite di un logaritmo

A livello liceale in genere non si spiega il motivo, si dice che se la funzione è continua fare il limite della funzione o la funzione del limite è la stessa cosa. Operativamente nel calcolo dei limiti ciò basta e avanza, ma ovviamente senza dimostrazione rigorosa è solo un modo di dire.

Se vuoi approfondire ti consiglio di studiare i limiti partendo dalle successioni numeriche (cosa che mi sembra tu stia facendo dato che vedo un $n!$ ) e poi studiare il teorema ponte citato da Eidos. Se avrai dubbi non esitare a chiedere 🙂

Ti esplico il calcolo delle proprietà dei logaritmi se richiedevi anche quello:

$\log ( \frac{\sqrt[n]{n! }}{n} ) = \log ( \frac{(n! )^{\frac{1}{n}}}{n} ) = \log (n! )^{\frac{1}{n}}) - \log (n) = \frac{1}{n} \log n! - \log n $ .

Ti consiglio inoltre il manuale che utilizzai per preparare analisi matematica I:

A te servono le seguenti: pp.50-80, pp. 105-117. (Bolzano-Weierstrass puoi saltarlo perché è abbastanza complesso per uno studente delle superiori) Al momento non le trovo, ma se non le conosci rivedi bene le definizioni di sup, inf, max e min. Se vai poco oltre le pagine che ti ho indicato trovi anche la discussione sulla continuità delle funzioni.

Se è il primo approccio con testi matematici veri e propri ricorda che bisogna leggere con molta calma e capendo ogni singola parola, i matematici non dicono mai né una parola in più né una in meno. Inoltre non scoraggiarti subito se non capisci una dimostrazione o l'enunciato di un teorema, è normalissimo, soprattutto agli inizi. Studia 2/3 pagine alla volta dato che sono estremamente dense e vanno comprese a pieno, i teoremi quando si studiano vanno smontati, devi chiederti "cosa succede se non vale questa ipotesi? Cosa succede se definisco questo oggetto in un altro modo?". Se credi di capire chiudi il libro dopo aver letto e rifai la dimostrazione su carta senza sbirciare, se non è particolarmente lunga e non riesci a rifarla significa che c'è qualcosa che ti sfugge. Spesso è utile descrivere a parole quello che avviene in linguaggio formale. Serve molta pazienza. 

È la continuità della funzione logaritmica nel suo dominio. Cerca il Teorema Ponte.

https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/830-teorema-ponte.html