Buongiorno
mi serve una mano per l'esercizio 390
Buongiorno
mi serve una mano per l'esercizio 390
196
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Livello 1
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{arctan(x)}{x} = $
Operiamo un cambio di variabile così da riportarci al un limite notevole base.
Poniamo y = arctan(x) ⇒ x = tan(y) la tangente è la funzione inversa dell'arcotangente.
inoltre se x → 0 allora y → 0
Il limite dato equivale
= $ \displaystyle\lim_{y \to 0} \frac{y}{tan(y)} $
= $ \displaystyle\lim_{y \to 0} \frac{y}{sin\,y} cos\,y $
= $1 \cdot 1 = 1$
Abbiamo fatto uso del limite base
$ \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{sin \, x}{x} = 1$
21742
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Livello 6
Lo riscrivo come
lim_x->1+ sqrt(1 - cos(x-1))/(2x^2 - 2x + x - 1)
per la parità del coseno
Posto u = x - 1, essendo
2x(x - 1) + (x - 1) = (2x + 1)(x - 1)
lo riportiamo a
lim_u->0 sqrt (1 - cos u)/u * lim_x-> 1 1/(2x+1) =
= sqrt [ lim_u->0 (1 - cos u)/u^2 ] * 1/(2+1) =
= sqrt (1/2)*1/3 =
= rad(2)/2 * 1/3 =
= rad(2)/6
58338
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Livello 7