[Risolto] Limite

Problema:

Calcola, al variare del parametro $a≥0$, il $\lim_{x\to +\infty} \frac{x³\sin \frac{1}{x^a}}{x²+1}$.

(Analisi matematica I, Ingegneria, Università di Roma 2009)

Soluzione:

Tenendo a mente la tendenza asintotica per $\epsilon (x) \to 0, \ \  \sin \epsilon (x) \approx \epsilon (x)$, puoi asserire che per $a≠1$ il limite è equivalente a:

$\lim_{x\to +\infty} \frac{x³\sin \frac{1}{x^a}}{x²+1}=\lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{x³}{x^a}}{x²+1}=\lim_{x\to +\infty} \frac{x^{3-a}}{x²}=\lim_{x\to +\infty} x^{3-a-2}=\lim_{x\to +\infty} x^{1-a}$

Si ha dunque che se $1-a>0 \to a<1$ il limite diverge positivamente dato che si ha qualcosa del tipo $x^k$. Poiché $a≥0$ per ipotesi, si ha che per $0≤a<1: \lim_{x\to +\infty} x^{1-a}=+\infty$.

Al contrario se $1-a<0 \to a>1$ il limite è nullo perché si ha qualcosa del tipo $x^{-k}$. 

Resta da studiare il caso $a=1$.

$\lim_{x\to +\infty} \frac{x³\sin \frac{1}{x}}{x²+1}=\lim_{x\to +\infty} \frac{ \frac{x³}{x}}{x²+1}=\lim_{x\to +\infty} \frac{x²}{x²+1}=\lim_{x\to +\infty} \frac{ x²}{x²}=1$.