[Risolto] Le coniche: la circonferenza

Ti faccio il punto B) per primo e poi il punto A)

la generica circonferenza di centro $C(x_C, y_C)$   e raggio $R$ ha equazione

$x^2+y^2-2x_C x-2y_C y + x_C^2+y_C^2-R^2=0$

confrontando con l'equazione del fascio di circonferenze si ottiene:

$-2x_C=k$ (termine lineare in $x$)

$-2y_C=-(k+4)$ (termine lineare in $y$)

e quindi

$x_C=-k/2$ e $y_C=k/2+2$ 

sostituendo si ottiene:

$y_C=-x_C+2$ ovvero $y=-x+2$ che è l'equazione della retta cercata.

Punto A)

Prendi due valori di $k$, per esempio $k=0$ e $k=-4$ che ti restituiscono le seguenti circonferenze:

$x^2+y^2-4y-4=0$ 

$x^2+y^2-4x-12=0$ 

A questo punto per trovare i punti base devi cercare l'intersezione fra queste due circonferenze:

$\begin{cases}
x^2+y^2-4y-4=0\\
x^2+y^2-4x-12=0
\end{cases}$

sottraendo:

$\begin{cases}
x^2+y^2-4y-4=0\\
4x-4y+8=0
\end{cases}$

$\begin{cases}
x^2+y^2-4y-4=0\\
x-y+2=0
\end{cases}$

$\begin{cases}
x^2+y^2-4y-4=0\\
y=x+2
\end{cases}$

sostituendo nella prima:

$x^2+(x+2)^2-4(x+2)-4=0$ si ottiene

$x^2-4=0$ ovvero $x_1=-2$ e $x_2=2$.

Ne risulta che $y_1=0$ e $y_2=4$

I punti base sono quindi $A(-2,0)$ e $B(2,4)$

Il resto prova tu e dicci dove ti blocchi