[Risolto] Lavoro ed energia

Ciao, lo svolgimento del problema:

nel punto primo l'energia totale del proiettile è data dalla somma tra l'energia potenziale gravitazionale e l'energia cinetica:

$$ E_{tot}=U+K=mgh+\frac12mv^2=0,80\operatorname{kg}\cdot9,81\cdot\frac{m}{s^2}\cdot20m+\frac12\cdot0,80\operatorname{kg}\cdot\left(7,5\cdot\frac{m}{s}\right)^2=179,46J=0,179kJ $$

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nel punto secondo bisogna trovare la velocità iniziale, essa si può ricavare dalla conservazione dell'energia meccanica lungo il moto, infatti nell'istante iniziale si trova a 0m quindi l'energia meccanica è data soltanto dall'energia cinetica, quindi:

$$ K=179,46J $$

$$ \frac12mv^2=179,46J $$

$$ v=\sqrt{\frac{2\cdot179,46J}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot179,46J}{0,80\operatorname{kg}}}=21,18\cdot\frac{m}{s} $$

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nel punto terzo bisogna trovare l'angolo di lancio, quindi bisogna ricavare la componente verticale della velocità e successivamente tramite la tangente ricavare l'angolo:

$$ v_{verticale}=\sqrt{v^2-v_{orizzontale}^2}=\sqrt{\left(21,18\cdot\frac{m}{s}\right)^2-\left(7,5\cdot\frac{m}{s}\right)^2}=19,81\cdot\frac{m}{s} $$

ricaviamo la tangente:

$$ \tan a=\frac{v_{verticale}}{v_{orizzontale}}=\frac{19,81\cdot\frac{m}{s}}{7,5\cdot\frac{m}{s}}=2,6413 $$

tramite l'arcotangente ricaviamo l'angolo:

$$ \tan^{-1}\left(\frac{v_{verticale}}{v_{orizzontale}}\right)=\tan^{-1}\left(2,6413\right)=69,26 $$

dunque l'angolo di lancio è a=69°.

energia totale: la calcolo nel punto più alto

E = m·g·h + 1/2·m·v^2 = m·(2·g·h + v^2)/2

con

m = 0.8 kg

h = 20 m

g = 9.806 m/s^2

v = 7.5 m/s (solo componente orizzontale = η)

E = 0.8·(2·9.806·20 + 7.5^2)/2 = 179.396 J

E = 0.179 KJ

Alla partenza:

v = [η, μ] 

η = 7.5 m/s

1/2·m·v^2 = 179.396 (solo energia cinetica)

1/2·0.8·v^2 = 179.396---> v = 21.18 m/s

altra componente (verticale)

μ = √(21.18^2 - 7.5^2) = 19.81 m/s circa

TAN(α°) = 19.81/7.5---> α° = 69.26°