Buongiorno. Chiedo aiuto per questo esercizio. Ringrazio in anticipo.
3. Calcolare il lavoro del campo vettoriale
$$
\vec{F}(x, y)=\left(y^2, y^2-x^2\right)
$$
lungo la frontiera dell'insieme $D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}: 0 \leq y \leq 2, y^2 \leq x \leq 4\right\}$, orientata positivamente.
576
punti
Livello 2
8282
punti
Livello 6
@marus76 grazie ancora, davvero. Una spiegazione esauriente. Mi ha chiarito ogni Piccolo dubbio.
https://www.desmos.com/calculator/wib970enoq
il percorso é O-A-B-O in senso antiorario
dL = F * dr = y^2 dx + (y^2 - x^2) dy
* Consideriamo dapprima OA
0 <= x <= 4 e x = y^2
ponendo y = t, x = t^2 e 0 <= t <= 2
dL = t^2 * 2 dt + (t^2 - t^4) dt = (-t^4 + 2t^3 + t^2) dt
L_OA = S_[0,2] (-t^4 + 2t^3 + t^2) dt = [ - t^5/5 + t^4/2 + t^3/3 ]_[0,2] =
= - 32/5 + 8 + 8/3 = (-96 + 120 + 40)/15 = 64/15
Passiamo a AB
Lungo questo tratto x = t va da 2 a 0 mentre y = 2 => dy = 0
dL = y^2 dx = 4 dt
L_AB = S_[2,0] 4 dt = 4*(0 - 2) = -8
Infine consideriamo il tratto BO in cui x = 0 => dx = 0, y = t => dy = dt
e nel verso considerato t varia da 2 a 0.
dL = y^2 dx + (y^2 - x^2) dy = 0 + (t^2 - 0) dt = t^2 dt
L_BO = S_[2,0] t^2 dt = [ t^3/3 ]_[2,0] = -8/3
L_OABO = 64/15 - 8 - 8/3 = (64 - 120 - 40)/15 = - 96/15 = -32/5 = -6.4
58338
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Livello 7
@eidosm credo che tu abbia sbagliato a individuare la frontiera del dominio!!!
Cioé il dominio sarebbe la parte inferiore ? In questo caso - rifacendo i calcoli - mi trovo con te
@eidosm si esatto
