Lavoro di un campo vettoriale su una curva parametrica

Question

Salve a tutti, sto cercando di risolvere l'esercizio dell'immagine; la curva su cui calcolare il lavoro è parametrizzata, dunque ho calcolato le derivate delle componenti di $\gamma(t)$, trovando:

$\gamma'(t)$ = $(1, -2(\pi - t))$.

Ho ricavato $F(\gamma(t))$ = $(3t^2 cos((\pi- t)^2), -t^3 sen((\pi - t)^2))$

Successivamente ho calcolato il prodotto scalare $F(\gamma(t)) \gamma'(t)$; so che per calcolare il lavoro dovrei risolvere l'integrale:

$\int{}^{}{F(\gamma(t)) \gamma'(t) dt}$ tra gli estremi $0$ e $\pi$

= $\int{}^{}{3t^2 cos((\pi - t)^2) + 2t^3 sen((\pi - t)^2)) (\pi - t) dt}$ tra gli estremi $0$ e $\pi$

Fino a questo punto il ragionemento è giusto? E se si come risolvo l'integrale tra $0$ e $\pi$ ?

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Risposta

Stranglehold

(@stranglehold)

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02/04/2021 15:40

EidosM · Accepted Answer

Procedo rapidamente

essendo dL = Fx(x,y) x' dt + Fy (x,y) y' dt

L = S_[0, pi] [[ 3t^2 cos (pi - t) + 2 cos t ] + [ t^3 sin (pi - t)^2 * 2(pi - t) ]] dt =

= 2 S_[0,pi] cos t dt +

+ S_[pi,0] [3(pi - u)^2 cos u^2 + (pi - u)^3 * 2u sin u^2 ] (-du)

avendo posto u = pi - t => t = pi - u => dt = du

Si ha quindi di seguito - riconoscendo la derivata di un prodotto -

2 [sin pi - sin 0] + S_[pi,0] d/du [ (pi - u)^3 cos u^2 du =

= 0 + [ (pi - u)^3 cos u^2 ]_[pi,0] =

= pi^3 * cos 0 - 0^3 cos pi = pi^3 - 0 = pi^3.

Controlla la correttezza dei calcoli.

EidosM

(@eidosm)

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02/04/2021 16:24

[Risolto] Lavoro di un campo vettoriale su una curva parametrica

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