[Risolto] L'auto dei ladri (linea blu) si sta muovendo a 20 m/s...

Le due leggi orarie (ladri e police) sono:

sL(t) = 20*t

sP(t) = (1/2)*2*t²

Dobbiamo massimizzare la funzione differenza 

sL(t) - sP(t) = 20t - t²

Il massimo si ha in corrispondenza dell'ascissa del vertice della parabola (parabola con Concavità verso il basso ; xV= 10)

Quindi: t= 10s

La velocità della polizia si ricava dalla legge oraria della velocità con v0=0

v(t) = a*t => v(10)= 2*10 = 20 m/s

Legge del moto dei ladri:

S = v * t;

S1 = 20 t;

Legge del moto della polizia, moto accelerato;

S = 1/2 a t^2;

S2 = 1/2 * 2 * t^2;

S2 = t^2;

Distanza fra le due auto:

S1 - S2 = x;

x = 20 t - t^2

Al tempo 0 s, x = 0 m; si trovano insieme a distanza 0 m;

derivata prima rispetto al tempo:

dx/dt = 20 - 2t;

Massima distanza: derivata prima rispetto al tempo = 0;

dx/dt = 0;

20 - 2t = 0;   2t = 20;

t = 20/2 = 10 s, (minimo).

al tempo 10 secondi:

S1 = 20 * 10 = 200 m;

S2 = 10^2 = 100 m;

distanza massima = 100 m; si vede dal grafico.

velocità polizia, all'inizio è 0 m/s; cresce nel tempo e al tempo t = 10 s, raggiunge la velocità dei ladri, poi continua a crescere nel tempo, quindi la distanza dall'auto dei ladri diminuisce fino a diventare 0, così la polizia raggiunge i ladri.

v = a * t;

v = 2 * 10 = 20 m/s; (velocità polizia a 10 s).

@matteis  ciao.

S1 = S2;

20 t = t^2;

t^2 - 20 t = 0;

t * (t - 20) = 0;

t1 = 0 s;

t2 = 20 s; la polizia raggiunge i ladri.

guardando il grafico si nota chiaramente che le due auto sono a distanza massima tra loro al secondo 10.

in quel momento l’auto della polizia raggiunge la stessa velocità dell’auto dei ladri, algebricamente:

v=a*t=2*10=20 m/s 

sul perché la distanza massima sia proprio in quel istante, io ho ragionato così:

Sicuramente non può essere dopo istante 10 in quanto l’auto della polizia assumerebbe una velocità maggiore di quella dei ladri, riducendo di conseguenza la distanza tra loro. Per tanto esiste un momento precedente con distanza maggiore tra le due autovetture. 
Invece non può essere prima che le due auto abbiano raggiunto la stessa velocità, in quanto solo all’istante 10, l’auto della polizia ha avuto una velocità fino a quel momento minore di quella dei ladri per il maggior tempo possibile. 
in altre parole per 10 secondi l’auto dei ladri è riuscita sempre ogni secondo ad allontanarsi un po’ di più dall’auto della polizia, in quanto quella dei ladri era più veloce ma, dopo il 10 secondo quella dei ladri diventa, in confronto, più lenta e quindi le distanze ogni secondo cominciano ad accorciarsi.

Brava/o Matteis!
Una prima domanda esemplare, quasi perfetta: trascritta completamente e correttamente solo da tastiera QWERTY (senza LaTeχ, così un solo Copia/Incolla prende tutto), con foto allegata diritta e leggibile (ma non in piano, ahi!); l'unica pecca vera è di non aver scritto nulla di tuo.
Se non scrivi per quale specifica difficoltà non sei in grado di fare da te io non posso far altro che mostrarti come lo risolvo io, e così ogni altro responsore; le nostre risoluzioni, pur assomigliandosi tutte (le leggi quelle sono!), saranno tutte lievemente diverse; tu avrai quindi un ventaglio di punti di vista sull'esercizio, ma è poco probabile che così per caso ci trovi proprio la spiegazione che ti chiarisca la specifica difficoltà.
Se invece la dichiari sarà nostra cura metterne la spiegazione in buona evidenza.
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MODELLO MATEMATICO
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Misure in unità SI (metro, secondo).
NB: lo zero non tollera unità di misura.
MRUA
* s(t) = S + (V + (a/2)*t)*t
* v(t) = V + a*t
MRU (per a = 0)
* s(t) = S + V*t
* v(t) = V
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Sia il testo che il grafico mostrano le condizioni iniziali, per t = 0, dei due moti
* BLU: posizione, S = 0; velocità, V = 20 m/s; accelerazione, a = 0.
* ROSSO: posizione, S = 0; velocità, V = 0; accelerazione, a = 2 m/s^2.
quindi
MRUA ROSSO
* s(t) = 0 + (0 + (2/2)*t)*t ≡ s(t) = t^2
* v(t) = 0 + 2*t ≡ v(t) = 2*t
MRU BLU
* s(t) = 0 + 20*t ≡ s(t) = 20*t
* v(t) = 20
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RISPOSTE AI QUESITI
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A) "In quale istante la distanza fra le auto è massima?"
La distanza d(t), per tutta la durata dell'inseguimento, è la differenza fra la posizione sBLU(t) dell'inseguito e quella sROSSO(t) dell'inseguitore
* d(t) = 20*t - t^2 = 100 - (t - 10)^2
che, rappresentando una parabola nel piano Otd, ha il massimo nel vertice V(10, 100), cioè
* d(10) = 100
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B) "Quanto vale la velocità dell'auto della polizia in quell istante?"
* v(t) = 2*t → v(10) = 2*10 = 20 m/s
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C) "Perché?"
O bella!
Per aver valutato le equazioni del modello matematico in corrispondenza dei dati opportuni.
E per cosa'altro, se no?

Vl*t = Vp*t/2

Vp = 2Vl = 20*2 = 40 m/sec 

fintanto che la velocità della polizia Vp è inferione a Vl = 20 m/sec, la distanza aumenta ; dal pareggio tra le velocità in poi la mutua distanza diminuisce fino ad azzerarsi al ricongiungimento come chiaramente mostrato dalla suesposta tabella