Teorema di Lagrange

a.  Verifichiamo la continuità in [0, 2]

I due tratti di y(x) sono funzioni razionali intere quindi definite e continue laddove definite.

Occorre verificare che lo sia anche nel punto di raccordo x = 1

1. $ \displaystyle\lim_{x \to 1^-} y(x) = 2$
2. $ f(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} y(x) = 2$

La funzione è continua anche nel punto x = 2

b.  Verifichiamola derivabilità

I due tratti di y(x) sono funzioni razionali intere quindi derivabili laddove definite.

Occorre verificare che lo sia anche nel punto di raccordo x = 1, cioè che le due derivate laterali risultano eguali. Ricordo che è stato dimostrato che trattasi di una funzione continua.

$ y'(x) = \begin{cases} 2x \qquad \text{ per x∈[0, 1)} \\ 6x-4 \, \text{ per x∈[1, 2]} \end{cases} $

 per cui:

1. $D^-y(1) = 2 $
2. $D^+y(1) = 6-4 = 2 $

 La funzione y(x) è derivabile anche nel punto x = 1.

Si è possibile applicare il teorema di Lagrangia visto che tutte le ipotesi sono soddisfatte.