[Risolto] La retta nel piano cartesiano

La retta congiungente i punti(- 1, 0) e (1, 1)
* r ≡ y = (x + 1)/2
ha pendenza m = 1/2, quindi le sue perpendicolari hanno m' = - 1/m = - 2 e quella per l'origine è
* s ≡ y = - 2*x
da cui
* r & s ≡ A(- 1/5, 2/5)
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"il lato AB appartiene alla retta r, il lato AC appartiene alla retta s"
Il punto cursore della retta r è R(a, (a + 1)/2) che da A dista |AR| = |5*a + 1|/(2*√5)
Il punto cursore della retta s è S(b, - 2*b) che da A dista |AS| = |5*b + 1|/√5
La loro congiungente è
* RS ≡ y = ((a + 4*b + 1)/(2*(a - b)))*x - (b + 5*a*b)/(2*(a - b))
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"triangolo isoscele ABC" ≡ |AR| = |AS| ≡ |5*a + 1|/(2*√5) = |5*b + 1|/√5
"la retta di BC passa per P(1; 3)" ≡ 3 = ((a + 4*b + 1)/(2*(a - b)))*1 - (b + 5*a*b)/(2*(a - b))
quindi
* (3 = ((a + 4*b + 1)/(2*(a - b)))*1 - (b + 5*a*b)/(2*(a - b))) & (|5*a + 1|/(2*√5) = |5*b + 1|/√5) ≡
≡ ((5*a - 9)*b = 1 - 5*a) & (|5*a + 1| = 2*|5*b + 1|) ≡
≡ (a = (9*b + 1)/(5*(b + 1))) & (|5*(9*b + 1)/(5*(b + 1)) + 1| = 2*|5*b + 1|) ≡
≡ (a = (9*b + 1)/(5*(b + 1))) & ((b + 2)*(b + 1/5)*b = 0) ≡
≡ (a = 17/5) & (b = - 2) oppure (a = - 1/5) & (b = - 1/5) oppure (a = 1/5) & (b = 0)
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La miglior verifica sull'ammissibilità delle tre soluzioni è il tracciamento dei relativi triangoli.
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1) A(- 1/5, 2/5), B(17/5, 11/5), C(- 2, 4)
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%28-1%2F5%2C2%2F5%29%2817%2F5%2C11%2F5%29%28-2%2C4%29
ammissibile
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2) A(- 1/5, 2/5), B(- 1/5, 2/5), C(- 1/5, 2/5)
ammissibile, ma con riserva: dà un triangolo sì reale, ma degenere sul suo baricentro.
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3) A(- 1/5, 2/5), B(1/5, 3/5), C(0, 0)
http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%28-1%2F5%2C2%2F5%29%281%2F5%2C3%2F5%29%280%2C+0%29
ammissibile