La popolazione di un certo Stato, che nel 1990 era di 8 milioni di persone...

Questo é un problema semplice.

a) No e^(kt) = N

No e^(k*1) = No + 3/100 No

e^k = 1 + 0.3

k = ln 1.03

b)  N(2000) = N(1990) * 1.03^(2000 - 1990) = 8 000000 * 1.03^10 = 10 751 331

c) N(2020) = N(1990) * 1.03^(2020 - 1990) = 8000000* 1.03^30 = 19 418 100

d) No e^(kT) = 2 No

e^(kT) = 2

kT = ln 2

T = ln 2/ln 1.03 ~ 23.45 anni

a) Calcola il valore di k

1,03 = e^k*t

ln 1,03 = k*t  (ln e = 1)

k = 0,02956 per t = 1,00 anni 

b) Determina N nel 2.000 

N = 8,00*10^6*2,7182818^(0,02956*(2000-1990)) = 10.751.460

c) Determina N' nel 2.020 

N' = 8,00*10^6*2,7182818^(0,0296*(2020-1990)) = 19.418.797
 

d) Calcola il tempo t' necessario per il raddoppio della popolazione.

2 = e^kt'

tempo t' = ln2 /k = 0,6931/0,02956 = 23,45 anni 

TESTO RIDICOLO in cui è scritto
prima "N rappresenta la popolazione, espressa in milioni di persone,"
e poi "b) 10751331 ; c) 19418100".
Ma davvero ci si attende che in dieci anni si passi da otto unità (in milioni) a undici milioni (in milioni)? Che cretinata!
Devo modificare un po' di testo in modo che lo svolgimento sia coerente col risultato atteso.
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* a = anno > 1990
* t = a - 1990 > 0
* n(t) = numero di persone nell'anno 1990 + t
* N = n(0) = 8*10^6 = numero di persone nell'anno 1990
La frase "cresce del 3 % all'anno" descrive una progressione geometrica e significa
* (n(0) = N) & (n(t + 1) = (103/100)*n(t)) ≡ n(t) = N*(103/100)^t
che è la normale espressione della progressione geometrica.
Che poi le progressioni geometriche, trasformando l'indice t da numero naturale a numero reale, diventino leggi di de/crescita esponenziale è mera convenzione: altro che "secondo la legge"!
Come in ogni espressione esponenziale si può cambiare la base modificando l'esponente o cambiare esponente modificando la base; le forme abituali per la legge di crescita sono
* n(t) = N*(103/100)^t = N*e^(k*t) = N*e^(t/τ) = N*2^(t/T) ≡
≡ n(t)/N = (103/100)^t = e^(k*t) = e^(t/τ) = 2^(t/T)
dove
* r = 103/100 = ragione della progressione
* τ = incognita = costante di tempo
* T = incognita = tempo di raddoppio
* k = incognita = costante di crescita (= 1/τ, oppure 1/T, secondo il caso)
e la legge dei cambiamenti/modifiche deriva pari pari da quella dei logaritmi
* (103/100)^t = e^(k*t) ≡ k = ln(103/100) ~= 0.029559 anni^(- 1)
* (103/100)^t = e^(t/τ) ≡ τ = 1/ln(103/100) ~= 33.8 anni
* (103/100)^t = 2^(t/T) ≡ T = 1/log(2, 103/100) = ln(2)/ln(103/100) ~= 23.45 anni
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RISPOSTE AI QUESITI con
* n(a) = (8*10^6)*(103/100)^(a - 1990)
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a) Calcola il valore di k [ln(1.03)].
* k = ln(103/100) ~= 0.029559 anni^(- 1)
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b) Determina N nel 2000 [10751331].
* n(2000) = (8*10^6)*(103/100)^(2000 - 1990) ~= 10751331.03475 persone
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c) Indica la previsione di N nel 2020 [19418100].
* n(2020) = (8*10^6)*(103/100)^(2020 - 1990) ~= 19418099.7695 persone
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d) Calcola il tempo necessario per il raddoppio della popolazione [23.45 anni].
* T = 1/log(2, 103/100) = ln(2)/ln(103/100) ~= 23.45 anni