Disequazioni logaritmi

Se x - 4 > 0 =>   x > 4

poniamo log_5 (x - 4) = u

3 u > 6/(u + 1)

u - 2/(u + 1) > 0

(u^2 + u - 2)/(u + 1) > 0

(u - 1)(u + 2)/(u + 1) > 0

- 2 < u < -1    V   u > 1

 

log_5 (x - 4) > 1 => x - 4 > 5 =>  x > 9

oppure

-2 < log_5 (x - 4) < -1

1/25 < x - 4 < 1/5

4 + 1/25 < x < 4 + 1/5

101/25 < x < 21/5

 

ho provato a verificarla con Symbolab e va bene.

"Da dove viene 21/5?"
Viene dall'analisi della condizione di definizione reale dell'espressione.
INFATTI
La diseguaglianza d'ordine richiede x > 4 e inoltre serve il denominatore non nullo
* CE(r) ≡ (log(5, x - 4) + 1 != 0) & (x > 4) ≡
≡ (log(5, x - 4) != - 1) & (x > 4) ≡
≡ (5^log(5, x - 4) != 5^(- 1)) & (x > 4) ≡
≡ (x - 4 != 1/5) & (x > 4) ≡
≡ (x != 21/5 = 4.2) & (x > 4) ≡
≡ (4 < x < 21/5) oppure (x > 21/5)
------------------------------
Con
* CE(r) ≡ (4 < x < 21/5) oppure (x > 21/5)
* y = log(5, x - 4) != - 1
si ha
* (3*log(5, x - 4) > 6/(log(5, x - 4) + 1)) & CE(r) ≡
≡ (3*y > 6/(y + 1)) & (y != - 1) ≡
≡ (3*y - 6/(y + 1) > 0) & (y != - 1) ≡
≡ ((y + 2)*(y - 1)*(y + 1) > 0) & (y != - 1) ≡
≡ (- 2 < y < - 1) oppure (y > 1) ≡
≡ (- 2 < log(5, x - 4) < - 1) oppure (log(5, x - 4) > 1) ≡
≡ (1/5^2 < x - 4 < 1/5^1) oppure (x - 4 > 5^1) ≡
≡ (101/25 < x < 21/5) oppure (x > 9)