La 109 mi aiutate a risolverla,ho appena iniziato i limiti e vorrei capire qualcosa

Problema:

Verifica il seguente limite tramite la definizione:

$\lim_{x \to -2} (4-x^2)=0$

Soluzione:

Generalmente si ha difficoltà in queste questioni quando non viene compreso il concetto di limite.

Ti consiglio di andare nella parte di teoria con tutte le definizioni e studiarle disegnando. Disegna una funzione qualsiasi su un piano cartesiano e considera $\epsilon$ e $\delta$ come valori molto piccoli, rispettivamente sull'asse delle ordinate e sull'asse delle ascisse. 

Ad esempio, fai finta di avere $|f(x)-L| \leq \epsilon$, disegna il punto $L$ sull'asse $y$ e il punto $f(x)$ sull'asse $y$, quanto detto significa che se prendi come centro $f(x)$, puoi fare un cerchio che contiene anche $L$: quel cerchio ha raggio $\epsilon$. Adesso immagina che $\epsilon \to 0$, ciò significa che $f(x)$ e $L$ vanno sovrapponendosi dato che il cerchio si restringe.

Tornando al quesito, la definizione da utilizzare è la seguente:

$\forall \epsilon >0 \exists \delta >0 : |x-x_0|<\delta \implies |f(x)-L| \leq \epsilon$ con $x_0=-2$, $f(x)=4-x^2$ e $L=0$.

Sosituendo si ha $|4-x^2| \leq \epsilon$, ossia  $-\epsilon \leq 4-x^2 \leq \epsilon$

ciò risulta in $x \in [-\sqrt{\epsilon +4}, -\sqrt{-\epsilon +4}] \cup [\sqrt{-\epsilon +4}, \sqrt{\epsilon +4}]$

Portando $\epsilon \to 0$ si ha:

$x \in [-2, -2] \cup [2, 2]$

Poiché vale $x \to -2$ e $x \in [-2,-2]$, il limite è corretto. 

Prova a spiegare a parole i procedimenti. Qui c'è il motivo:

Si vede cosa succede quando $f(x)$ e $L$ sono nella stessa palla di raggio $\epsilon$, quindi si ottengono degli intervalli in cui si trova $x$. Poiché è noto che $x$ e $x_0$ sono nella stessa palla di raggio $\delta$, si ha che se i valori di $x$ sono abbastanza vicini a $x_0$, il limite è vero. Se invece $x$ e $x_0$ non sono vicini, il limite è falso.

Se hai dubbi scrivi pure, ma una volta compresa la definizione (è normale metterci del tempo) la questione è puramente di calcolo. 

La definizione di $ \displaystyle\lim_{x \to -2} (4-x^2) = 0$ è 

$ ∀ε>0 ∃I_ε | |f(x)-0| < ε \quad ∀x∈I_ε \setminus\{-2\} $

dove con $I_ε$ si intende un intervallo completo del punto -2 con esclusione di quest'ultimo punto.

La dimostrazione sarà completata quando verificheremo l'esistenza dell'intervallo, $I_ε$, che dipende da ε.

Come procedere? Partiamo da quello che si vuole ottenere e operando con dei "se e solo se" determiniamo un intervallo. I "se e solo se" ci garantiscono che il verso opposto dall'intervallo alla disequazione finale sia valido.

$ |f(x) -0| < ε  \; \iff \; |4-x^2| < ε  \; \iff \; -ε < 4-x^2 < ε \; \iff \; $

Queste sono due disequazioni, esprimiamole in forma di un sistema di disequazioni     

$ \; \iff \; \begin{cases} 4-x^2 > - ε \\ 4-x^2 < ε \end{cases} \; \iff \; $

$ \; \iff \; \begin{cases} x^2 < 4 + ε \\ 4-x^2 < ε \end{cases} \; \iff \; $

dalla prima    $-\sqrt{4+ε} < x < \sqrt{4+ε} $

dalla seconda $ x < - \sqrt{4-ε}   \; \lor \; x > \sqrt{4-ε} $

riportiamo il tutto in un grafico sulla semiretta negativa delle ascisse

___-√(4+e)___-2____-√(4-e)_______0____
           o-----------------------------------------     1° disequazione
----------------------------o                                 2° disequazione
          o------------------o                                 Soluzione del sistema

La soluzione del sistema è il nostro $I_ε$, infatti è un intervallo completo del punto x = -2. nota non è necessario escludere il punto x = -2, essendo f(x) una funzione continua. 

Siamo alla conclusione. A causa dei "se e solo se" risulta evidente che se prendiamo una $x\in I_ε$ allora $|4-x^2| < ε$, quindi almeno un intervallo esiste.