Notifiche
Cancella tutti

[Risolto] Iperbole  

  

0

Trova per quali valori di $k$ l'equazione $\frac{x^{2}}{4 k^{2}-1}-\frac{y^{2}}{k-3}=1$ rappresenta:

a. un'ellisse;

b. un'iperbole; 

c. un'iperbole con i fuochi sull'asse $y$;

d. un'iperbole con i fuochi sull'asse $y$ che ha distanza focale uguale a 4.

$\left.\left[\right.\right.$ a) $\left.\left.k<-\frac{1}{2} \vee \frac{1}{2}<k<3 ; b\right)-\frac{1}{2}<k<\frac{1}{2} \vee k>3 ; c\right)-\frac{1}{2}<k<\frac{1}{2} ;$ d) $k=0, k=-\frac{1}{4}]$

Es n 72, grazie in anticipo

20201016 234531

 

2 Risposte
2
bdd25618 21c8 4cf5 9823 c44f74fac85e
3c2028d2 4543 453b 8db2 41b0eb7e48ba

Qui ci sono svolti i vari punti

1

L'espressione
* Γ(k) ≡ x^2/(4*k^2 - 1) - y^2/(k - 3) = 1
perde significato se anche un solo denominatore s'annulla, cioè se
* (4*k^2 - 1 = 0) oppure (k - 3 = 0) ≡ x in {- 1/2, 1/2, 3}
------------------------------
Esclusi questi tre valori l'espressione è l'equazione di una conica a centro
* Γ ≡ (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
il cui genere dipende dai segni dei denominatori.
---------------
caso 0) (4*k^2 - 1 < 0) & (k - 3 < 0) ≡ - 1/2 < k < 1/2 →
→ (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1 → iperbole con i fuochi sull'asse y
---------------
caso 1) (4*k^2 - 1 < 0) & (k - 3 > 0) ≡ insieme vuoto → nessuna conica
---------------
caso 2) (4*k^2 - 1 > 0) & (k - 3 < 0) ≡ (k < - 1/2) oppure (1/2 < k < 3) →
→ (x/a)^2 + (y/b)^2 = + 1 → ellisse
---------------
caso 3) (4*k^2 - 1 > 0) & (k - 3 > 0) ≡ k > 3 →
→ (x/a)^2 - (y/b)^2 = + 1 → iperbole con i fuochi sull'asse x
------------------------------
RISPOSTE AI QUESITI
------------------------------
a. Γ(k) rappresenta un'ellisse nel "caso 1".
b. Γ(k) rappresenta un'iperbole nel "caso 0" oppure nel "caso 3".
c. Γ(k) rappresenta un'iperbole con i fuochi sull'asse y nel "caso 0".
---------------
d. Γ(k) rappresenta un'iperbole con i fuochi sull'asse y che ha distanza focale uguale a 4 nel "caso 0", ma con un ulteriore vincolo sui semiassi.
La semidistanza focale "c" è ipotenusa di un triangolo rettangolo con i semiassi per cateti
* c = √(a^2 + b^2) = √(- (4*k^2 - 1) - (k - 3)) = √(- 4*k^2 - k + 4)
Si ha "distanza focale uguale a 4" per
* (√(- 4*k^2 - k + 4) = 2) & (- 1/2 < k < 1/2) ≡ k in {- 1/4, 0}
ottenendo
* Γ(- 1/4) ≡ x^2/(4*(- 1/4)^2 - 1) - y^2/((- 1/4) - 3) = 1 ≡
≡ 52*x^2 - 12*y^2 + 39 = 0
* Γ(0) ≡ x^2/(4*0^2 - 1) - y^2/(0 - 3) = 1 ≡
≡ 3*x^2 - y^2 + 3 = 0
Vedi
* il paragrafo "Properties: foci" ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plane+curve+52*x%5E2-12*y%5E2%2B39%3D0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plane+curve+3*x%5E2-y%5E2%2B3%3D0
* il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2C52*x%5E2-12*y%5E2%2B39%3D0%2C3*x%5E2-y%5E2%2B3%3D0%5Dx%3D-19to19%2Cy%3D-19to19

SOS Matematica

GRATIS
Download