Iperbole tangenti

Si tratta di studiare il delta per la risolvente del sistema

y - 2 = m x

x^2 - y^2 = 16 

x^2 - (mx + 2)^2 - 16 = 0

x^2 - m^2 x^2 - 4 mx - 4 - 16 = 0

(m^2 - 1) x^2 + 4 m x + 20 = 0

D/4 = 4 m^2 - 20 ( m^2 - 1) = 4 ( m^2 - 5 m^2 + 5 ) = 4 ( 5 - 4 m^2 )

a) D = 0 => m = +- 1/2 rad(5)

b) D > 0 => intervallo interno

c) come a

https://www.desmos.com/calculator/4ktsc1iskk

@sophie-2

Ciao.

a) determino rette tangenti all'iperbole condotte da A

Alternativamente al collega @eidosm procedo con il calcolo della polare tramite le formule di sdoppiamento (come se il punto A appartenesse alla stessa iperbole)

0·x - 2·y = 16----> y = -8

determino i punti di tangenza:

{x^2 - y^2 = 16

{y = -8

Quindi: x^2 - (-8)^2 = 16---> x^2 - 64 = 16----> x = - 4·√5 ∨ x = 4·√5

B(- 4·√5, -8) e C(4·√5, -8)

Sempre tramite formule di sdoppiamento determino le due tangenti nei punti trovati:

(- 4·√5)·x - (-8)·y = 16-----> y = √5·x/2 + 2 quindi m = √5/2

(4·√5)·x - (-8)·y = 16------> y = 2 - √5·x/2  quindi m = - √5/2

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c) interseca l'iperbole in un solo punto

siccome le due rette:

y=x+2 ed y =-x+2

passanti per A sono asintoti per la semiiperbole non negativa:

y = √(x^2 - 16)

non intersecano tali rami al finito, ma sono tangenti all'infinito, mentre sono secanti in un solo punto ognuna delle due (rette) all'altra semiiperbole negativa y = - √(x^2 - 16)

vuol dire che solo per m=1 oppure per m=-1 si ha una sola intersezione

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b) interseca l'iperbole in due punti

{x^2 - y^2 = 16

{y = m·x + 2

procedo per sostituzione:

x^2 - (m·x + 2)^2 = 16----> x^2·(m^2 - 1) + 4·m·x + 20 = 0

a = m^2 + 1 ; b = 4·m; c = 20

Δ/4 = (2·m)^2 - 20·(m^2 - 1)----> Δ/4 = 4·(5 - 4·m^2)

Deve essere: 

Δ/4 > 0

5 - 4·m^2 > 0

quindi: - √5/2 < m < √5/2 con esclusione dei valori di m ottenuti al punto precedente

Per A(0, 2) passano, oltre all'asse y, tutte e sole le rette del fascio
* r(m) ≡ m*x - y + 2 = 0 ≡ y = 2 + m*x
per ogni pendenza m reale.
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L'iperbole
* Γ ≡ x^2 - y^2 = 16 ≡ (x/4)^2 - (y/4)^2 = 1
ha
* centro nell'origine
* assi di simmetria su quelli coordinati
* fuochi sull'asse x
* vertici V(± 4, 0)
* rami, simmetrici rispetto l'asse x, nei semipiani x <= - 4 e x >= 4
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Il sistema
* r(m) & Γ ≡ (y = 2 + m*x) & ((x/4)^2 - (y/4)^2 = 1)
ha risolvente
* (x/4)^2 - ((2 + m*x)/4)^2 - 1 = 0 ≡
≡ (1 - m^2)*x^2 - 4*m*x - 20 = 0
che ovviamente è sì di grado due, però con coefficiente direttore parametrico.
Occorre pertanto distinguere due diverse possibilità
A) grado uno, per m = ± 1: r(m) ≡ y = 2 ± x (parallele alle bisettrici)
B) grado due, per m != ± 1: risolvente x^2 - (4*m/(1 - m^2))*x - 20/(1 - m^2) = 0
con discriminante
* Δ(m) = (5 - 4*m^2)/16
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Vale la seguente distinzione di casi.
1) per m < - √5/2: Δ(m) < 0; r(m) è esterna a Γ (zero punti comuni).
2) per m = - √5/2: Δ(m) = 0; r(m) è tangente Γ (un punto comune doppio).
3) per - √5/2 < m < - 1: Δ(m) > 0; r(m) è secante Γ (due punti comuni semplici).
4) per m = - 1: Δ(m) irrilevante; r(m) è secante Γ (un punto (5, - 3) comune semplice).
5) per - 1 < m < 1: Δ(m) > 0; r(m) è come nel caso 3.
6) per m = 1: Δ(m) irrilevante; r(m) è secante Γ (un punto (- 5, - 3) comune semplice).
7) per 1 < m < √5/2: Δ(m) > 0; r(m) è come nel caso 3.
8) m = √5/2: Δ(m) = 0; r(m) è come nel caso 2.
9) m > √5/2: Δ(m) < 0; r(m) è come nel caso 1.
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) r(m) è tangente l'iperbole per m = ± √5/2.
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b) r(m) interseca l'iperbole in due punti per
* (- √5/2 < m < - 1) oppure (- 1 < m < 1) oppure (1 < m < √5/2)
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c) r(m) interseca l'iperbole in un solo punto per m = ± 1.
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Vedi il grafico dei casi particolari e il paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2-y%5E2%3D16%2C%285*x%5E2-4*%28y-2%29%5E2%29*%28x%5E2-%28y-4%29*y-4%29%3D0%5D