Iperbole equilatera riferita ai suoi assi, passante per P(3, 2). ) Come cambierebbe la risposta se l'iperbole fosse riferita agli asintoti?
Ciao a tutti!
Qualcuno saprebbe spiegarmi l’esercizio n 483?
Grazie mille a chi saprà aiutarmi!
Iperbole equilatera riferita ai suoi assi, passante per P(3, 2). ) Come cambierebbe la risposta se l'iperbole fosse riferita agli asintoti?
Ciao a tutti!
Qualcuno saprebbe spiegarmi l’esercizio n 483?
Grazie mille a chi saprà aiutarmi!
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Livello 1
Perdonami… io sono arrivata “fino” a qui, ma non capisco cosa devo fare. Ora devo sostituire i valori anche nell’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi? (xy=k)
La generica iperbole riferita ai propri assi è
* Γ1 ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = ± 1
mentre quella riferita ai propri asintoti è
* Γ2 ≡ x*y = ± k
dove {a, b, k} sono positivi.
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Imporre l'appartenenza di P(3, 2), nel primo quadrante, vuol dire ...
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Per Γ1
* (3/a)^2 - (2/b)^2 = ± 1 ≡
≡ (b = 2*a/√(9 + a^2)) oppure (b = 2*a/√(9 - a^2)) & (0 < a < 3)
da cui
* Γ1a ≡ (x/a)^2 - (y/(2*a/√(9 + a^2)))^2 = - 1 ≡
≡ x^2/a^2 - y^2/(4*a^2/(9 + a^2)) = - 1
* Γ1b ≡ (x/a)^2 - (y/(2*a/√(9 - a^2)))^2 = + 1 ≡
≡ 4*x^2 - (9 - a^2)*y^2 = 1
che s'intersecano in P se in Γ1a a^2 = 1 e in Γ1b a^2 = 1/4.
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?key=&i=%5Bx%5E2-y%5E2%2F%284%2F10%29%3D-1%2C4*x%5E2-%289-1%2F4%29*y%5E2%3D1%5D
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Per Γ2
* 3*2 = ± k ≡
≡ (k = - 6) oppure (k = + 6)
da cui
* Γ2a ≡ x*y = - 6 (si scarta, passa nei quadranti pari)
* Γ2b ≡ x*y = + 6
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Genius I