Qual è la logica
Quella che t'ho già mostrato almeno un pajo di volte.
Le coniche a centro non degeneri riferite ai propri assi hanno equazioni riducibili a
* Γ ≡ (x/a)^2 ± (y/b)^2 = ± 1
dove
* il secondo membro non zero dice "non degenere"
* i semiassi (a, b) sono valori positivi
e i doppi segni tipizzano
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1: iperbole coi fuochi sull'asse y
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = + 1: iperbole coi fuochi sull'asse x
* (x/a)^2 + (y/b)^2 = - 1: ellisse non reale
* (x/a)^2 + (y/b)^2 = + 1: ellisse reale
Esercizio
Nel fascio
* Γ(k) ≡ k*x^2 - (k^2 - 1)*y^2 = 1
ci sono tre coniche degeneri per k ∈ {- 1, 0, 1}
* per k = - 1: x^2 + 1 = 0, parabola degenere su due parallele immaginarie.
* per k = 0: y^2 - 1 = 0, parabola degenere su due parallele reali.
* per k = 1: x^2 - 1 = 0, parabola degenere su due parallele reali.
Esclusi questi tre valori si ha
* 1/a^2 = k
* 1/b^2 = (k^2 - 1)
e, dal momento che a primo membro c'è il segno meno: se sono entrambi negativi si tratta di iperbole coi fuochi sull'asse y, se sono entrambi positivi si tratta di iperbole coi fuochi sull'asse x; cioè, per essere iperbole, occorre e basta che siano concordi.
Risposte ai quesiti
a) k*(k^2 - 1) > 0 ≡ (- 1 < k < 0) oppure (k > 1)
b) (k > 0) & (k^2 - 1 > 0) ≡ k > 1
c) (k < 0) & (k^2 - 1 < 0) ≡ - 1 < k < 0
d) vertice V(1/2, 0), sull'asse x, vuol dire: fuochi sull'asse x ed a = 1/2
* (k > 1) & (a = 1/2) & (1/a^2 = k) ≡ k = 4
e) fuochi sull'asse x ed eccentricità e = √(5/3), rapporto fra semidistanza focale e semiasse trasverso; cioè
* e = c/a = √(1 + (b/a)^2) = √(1 + k/(k^2 - 1))
* (k > 1) & (√(1 + k/(k^2 - 1)) = √(5/3)) ≡ k = 2
