[Risolto] funzione tangente - trasforma in cos(x)

EX.205

SIN(α) - 2/SIN(α) + 2/TAN(α)

3/2·pi < α < 2·pi

Angolo 4° quadrante: seno negativo coseno positivo

Pongo:

Χ = COS(α)

Υ = SIN(α)

con: Χ^2 + Υ^2 = 1

riscrivo:

Υ - 2/Υ + 2·Χ/Υ=

=(Υ^2 + 2·Χ - 2)/Υ

Υ = - √(1 - Χ^2) ∨ Υ = √(1 - Χ^2)

Quindi  sostituisco: Υ = - √(1 - Χ^2)

((- √(1 - Χ^2))^2 + 2·Χ - 2)/(- √(1 - Χ^2))

(Χ^2 - 2·Χ + 1)/√(1 - Χ^2)

(Χ - 1)^2/√(1 - Χ^2)

(COS(α) - 1)^2/√(1 - COS(α)^2)

sin a - 2/sin a + 2 cos a/sin a =

= (sin^2(a) - 2 + 2 cos a)/sin a =

= (1 - cos^2(a) - 2 + 2 cos a)/[-sqrt(1 - cos^2(a))] =

= (-1 + 2 cos a - cos^2(a)) / (-sqrt (1 - cos^2(a))) =

= - (1 - cos a)^2/(-sqrt (1 - cos^2(a))) =

= (1 - cos a)^2 / [ sqrt(1 - cos a)*sqrt (1 + cos a) ] =

= sqrt [ (1 - cos a)^3/(1 + cos a) ]

nel IV quadrante il seno é negativo

"Non ho ben capito come faccio a trasformare le espressioni in funzione soltanto di cos"
Devi sfruttare due nozioni, entrambe illustrate con chiarezza nel tuo libro.
1) Le identità che esprimono in coseno il seno e la tangente
* sin(x) = ± √(1 - cos^2(x)); tg(x) = ± √(1/cos^2(x) - 1)
2) Il segno di seno e coseno nei diversi quadranti per disambiguare i "±" delle identità (entrambi gli esercizi 204 e 205 indicano una limitazione sui possibili valori dell'argomento α).
Esercizi
204) (sin^2(α) - 1 - 4*(tg^2(α) + 1)*sin^2(α)) & (α != π/2 + k*π) & (k ∈ Z) ≡
≡ ((1 - 4*(tg^2(α) + 1))*sin^2(α) - 1) & (α != π/2 + k*π) & (k ∈ Z) ≡
≡ ((1 - 4*((1/cos^2(α) - 1) + 1))*(1 - cos^2(α)) - 1) & (α != π/2 + k*π) & (k ∈ Z) ≡
≡ ((- (cos^2(α) - 2)^2)/cos^2(α)) & (α != π/2 + k*π) & (k ∈ Z)
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205) (sin(α) - 2/sin(α) + 2/tg(α)) & (3*π/2 < α < 2*π)
La limitazione "3*π/2 < α < 2*π", quarto quadrante frontiera esclusa, vuol dire
* (sin(α) < 0) & (cos(α) > 0) & (tg(α) < 0)
quindi
* (sin(α) - 2/sin(α) + 2/tg(α)) & (sin(α) < 0) & (cos(α) > 0) & (tg(α) < 0) ≡
≡ ((- √(1 - cos^2(α))) - 2/(- √(1 - cos^2(α))) + 2/(- √(1/cos^2(x) - 1))) & (sin(α) < 0) & (cos(α) > 0) & (tg(α) < 0) ≡
≡ (((cos^2(α) + 1)/√(cos^2(α)) - 2)/√(1/cos^2(α) - 1)) & (sin(α) < 0) & (cos(α) > 0) & (tg(α) < 0)