[Risolto] Iperbole

Scrivo quello che ho fatto e spero sia corretto.

yo = 4/xo = 4/2 = 2

fascio che ha centro in questo punto ha equazione

y - 2 = m (x - 2 )

y = mx - 2m + 2

risolvente del sistema retta/iperbole

x(mx - 2m + 2) - 4 = 0

m x^2 - 2m x + 2x - 4 = 0

m x^2 - 2(m - 1) x - 4 = 0

D/4 = 0 per cercare la tangente

(m - 1)^2 + 4m = 0

m^2 - 2m + 1 + 4m = 0

m^2 + 2m + 1 = 0

(m + 1)^2 = 0

m = -1

tangente in T :  y - 2 = - x + 2

y = -x + 4

i punti in cui incontra gli assi sono

x = 0, y = 4   => A = (0, 4)

y = 0. x = 4 =>  B = (4, 0)

il punto variabile sull'iperbole é P = (t, 4/t)

il baricentro é G(t) dato da

x = (0 + 4 + t)/3 = (t + 4)/3

y = ( 4 + 0 + 4/t)/3 = 4/3 ( 1 + 1/t )

pertanto  t = 3x - 4

e y = 4(t + 1)/(3t) = 4 (3x - 3)/(3*(3x - 4)) = (4x - 4)/(3x - 4)

ovvero il luogo dei baricentri é una funzione omografica

L'iperbole
* Γ ≡ x*y = 4 ≡ y = 4/x
ha
* pendenza m(x) = - 4/x^2
* cursore P(k, 4/k)
e, all'ascissa due,
* T(2, 2)
* m(2) = - 1
* tangente t ≡ y = 4 - x
da cui
* A(0, 4), B(4, 0)
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Il baricentro G del triangolo APB è la media dei suoi vertici
* G = (A + P + B)/3 = ((0, 4) + (k, 4/k) + (4, 0))/3 = ((k + 4)/3, (4/k + 4)/3)
e il luogo che descrive si trova eliminando k
* (x = (k + 4)/3) & (y = (4/k + 4)/3) ≡ (k = 3*x - 4) & (y = 4*(x - 1)/(3*x - 4))
e risulta a sua volta un'iperbole, ma assai più squadrata di quella data
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D4%2Cy%3D4*%28x-1%29%2F%283*x-4%29%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-9to9