[Risolto] Iperbole

Di iperboli specificate da "iperbole avente un fuoco ( 0 ; - √5) e passante per (1; 2 √2)" ne esistono una duplice infinità.
Il risultato atteso (x^2 - y^2/4 = - 1) è unico in quanto deriva da una specificazione assai più stringente di quella che hai scritto tu: è "iperbole, RIFERITA AI PROPRII ASSI, con un fuoco in F1(0, - √5) e passante per (1, 2*√2)".
Su questa seconda specificazione la procedura risolutiva è come segue.
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Ogni iperbole Γ riferita ai proprii assi, con semiassi (a, b) positivi, ha equazione di forma
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = ± 1
dove il secondo membro è uno se l'asse x ha i fuochi, è meno uno se li ha l'asse y.
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F1(0, - √5) ed F2(0, √5) sono sull'asse y, quindi
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = - 1
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La condizione di passare per (1, 2*√2) impone il vincolo
* (1/a)^2 - (2*√2/b)^2 = - 1 ≡ (a = 1) & (b = 2)
da cui
* Γ ≡ 2^2 - (y/2)^2 = - 1
che è proprio il risultato atteso.