[Risolto] Iperbole

@Karn
Iniziare con "Buonasera, scusate ..." ti fa sembrare gentile, ma in effetti non lo sei. Nella precedente risposta t'avevo invitato a fare mente locale su come pubblicare una domanda per bene, e tu non l'hai fatto. Per giunta presenti la domanda più stupida che si possa immaginare: "qualcuno potrebbe ...".
Chiedere "qualcuno potrebbe fare X" NON E' LA RICHIESTA DI FARE X, è un sondaggio per contare quanti dei lettori sarebbero in grado di fare X se gli fosse richiesto; ma tu non l'hai chiesto, hai chiesto di sapere chi potrebbe farlo: se questo era il tuo intento, beh, conta anche me.
Un secondo motivo per cui la domanda è stupida e ti fa anche fare la figura dell'ipocrita è che se mandi una domanda di matematica a un sito dedicato a rispondere a domande di matematica LO SAI BENISSIMO che ci sono eccome le persone in grado di rispondere.
Perciò ti rinnovo l'invito a leggere i materiali ai link che t'ho segnalato e qui aggiungo un secondo invito: PENSA BENE A COSA SIGNIFICANO LE COSE CHE SCRIVI.
==============================
I PASSAGGI DEGLI ESERCIZI
------------------------------
Entrambi gli esercizi
63) (3*x^2 - 4*y^2 = 12) & (x + y - 1 = 0)
64) (4*x^2 - 9*y^2 = 36) & (4*x - 3*y - 12 = 0)
sono istanze del medesimo problema
* (A*x^2 - B*y^2 = A*B) & (C*x ± D*y - C*D = 0)
che si risolve con pochi passaggi.
---------------
A) Anzitutto si porta l'iperbole alla forma normale standard
* (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
* (x/√B)^2 - (y/√A)^2 = 1
e la retta, data in forma normale canonica, a una delle quattro possibili forme esplicite
* {x = k, y = q, y = m*x, y = m*x + q}
cioè
* {x = k, y = m*x + q}
dove uno di (m, q), ma non entrambi, può essere nullo.
---------------
B) In secondo luogo si sostituisce la forma esplicita della retta nella forma standard dell'iperbole e si ottiene un'equazione di secondo grado in una sola variabile
* (k/√B)^2 - (y/√A)^2 - 1 = 0
oppure
* (x/√B)^2 - ((m*x + q)/√A)^2 - 1 = 0
---------------
C) In terzo luogo si calcola il discriminante dell'equazione ottenuta
* Δy(A, B, k) = 4*(k^2 - B)/(A*B)
oppure
* Δx(A, B, m, q) = 4*(A + q^2 - B*m^2)/(A*B)
---------------
D) Questo quarto passaggio è di decisione e non di calcolo, è la risposta al quesito principale; i successivi, se del caso, sono di raffinamento.
D1) Δ < 0: nessun punto comune, la retta è esterna all'iperbole.
D2) Δ = 0: un punto comune doppio, la retta è tangente l'iperbole.
D3) Δ > 0: due punti comuni distinti, la retta è secante l'iperbole.
---------------
E) Solo nei casi D2 e D3 si identificano i punti comuni.
E1a) ((k/√B)^2 - (y/√A)^2 - 1 = 0) & (k^2 - B = 0) ≡ y = 0
E1b) ((k/√B)^2 - (y/√A)^2 - 1 = 0) & (k^2 - B > 0) ≡ y = ± √(A*(k^2/B - 1))
E2a) ((x/√B)^2 - ((m*x + q)/√A)^2 - 1 = 0) & (A + q^2 - B*m^2 = 0) ≡ v. NOTA
E2b) ((x/√B)^2 - ((m*x + q)/√A)^2 - 1 = 0) & (A + q^2 - B*m^2 > 0) ≡ v. NOTA
-------
NOTA L'espressione simbolica richiede troppa dattilografia e, in fondo, non ti serve: per calcolare le soluzioni dei due esercizi hai già tutto.