[Risolto] Iperbole

Ogni iperbole con i fuochi sull'asse x ha equazione di forma
* Γh ≡ ((x - xC)/a)^2 - (y/b)^2 = 1
dove
* i semiassi sono (a, b) positivi
* il centro è C(xC, 0)
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La richiesta che passi per i fuochi la circonferenza centrata in O e di raggio r
* Γc ≡ x^2 + y^2 = q = r^2
implica, per la simmetria, che sia centrata in O anche l'iperbole
* Γh ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1
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Le condizioni di passaggio per Γh impongono vincoli da cui la si determina
* per A(2, 1): (2/a)^2 - (1/b)^2 = 1
* per B(- 1, 0): (- 1/a)^2 - (0/b)^2 = 1
quindi
* ((2/a)^2 - (1/b)^2 = 1) & ((- 1/a)^2 - (0/b)^2 = 1) ≡ (a = 1) & (b = 1/√3)
* Γh ≡ x^2 - (y/(1/√3))^2 = 1 ≡ x^2 - 3*y^2 = 1
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I fuochi di Γh, per cui deve passare Γc, distano dal centro la semidistanza focale
* c = √(a^2 + b^2) = √(1^2 + (1/√3)^2) = 2/√3
quindi
* Γc ≡ x^2 + y^2 = c^2 = 4/3
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Le intersezioni V, in simmetria quadrantale, sono le soluzioni del sistema
* Γh & Γc ≡ (x^2 - 3*y^2 = 1) & (x^2 + y^2 = 4/3) ≡ V(± √5/2, ± 1/(2*√3))
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Il rettangolo di vertici V ha
* base b = 2*√5/2 = √5
* altezza h = 2/(2*√3) = 1/√3
* area b*h = √(5/3) = √15/3
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Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cx%5E2-3*y%5E2%3D1%2Cx%5E2%2By%5E2%3D4%2F3%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-3to3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=polygon%28-%E2%88%9A5%2F2%2C-1%2F%282*%E2%88%9A3%29%29%28%E2%88%9A5%2F2%2C-1%2F%282*%E2%88%9A3%29%29%28%E2%88%9A5%2F2%2C1%2F%282*%E2%88%9A3%29%29%28-%E2%88%9A5%2F2%2C1%2F%282*%E2%88%9A3%29%29