Interpretazione grafica di un equazione di secondo grado e i punti di intersezione di una parabola

• Grafico della parabola

• Coordinate punti A e B.

Determiniamo i punti di intersezione tra la parabola e l'asse delle x che ha equazione y=0

{y = 0

{y = 4x^2- 4x -3

Risolvendo l'equazione 4x^2- 4x -3 si ottiene x=-1/2 V x=3/2 per cui

A = (-1/2,0)

B = (3/2,0)

• Coordinate del vertice V

xV = -b/2a = 4/8 = 1/2

yV = -(b²-4ac)/(4a) = -(16-4*4*(-3))/16 = -4

V(1/2, -4)

• Lunghezza base b del triangolo AB

b = xB-xA = 3/2+1/2 = 2 

• Lunghezza altezza h del triangolo

h = |yV| = 4

Area triangolo. S = b*h/2 = 2*4/2 = 4 

 

y = 4·x^2 - 4·x - 3

per disegnare il grafico qualitativo della parabola ad asse verticale bastano poche informazioni contenute nei coefficienti:

a = 4; b = -4; c = -3

Il primo indica che la parabola ha la concavità verso l'alto a>0; l'asse della parabola è a destra di y in quanto segni discordi di a e di b; equazione x=-b/(2a)---->x = 4/(2·4)---> x=1/2

Interseca l'asse delle x (y=0) in:

{y = 4·x^2 - 4·x - 3

{y = 0

Risolvo: x = - 1/2 ∧ y = 0 : A(-1/2,0) ; x = 3/2 ∧ y = 0: B(3/2,0)

Interseca l'asse delle y in Q(0,-3) definito dal termine noto della parabola.

Per le coordinate del vertice V:

ascissa x=1/2; ordinata: y = 4·(1/2)^2 - 4·(1/2) - 3--->y = -4 ---> V(1/2,-4)

Altro modo: - Δ/(4·a) con Δ = b^2 - 4·a·c; Δ = (-4)^2 - 4·4·(-3); Δ = 64

y=- 64/(4·4)=-4

Area del triangolo = 1/2·(3/2 + 1/2)·4 = 4 

Ciao

 

 

La parabola, riscritta nelle sue diverse forme normali,
* y = 4*x^2 - 4*x - 3 ≡
≡ y = 4*(x - 1/2)^2 - 4 ≡
≡ y = 4*(x^2 - x - 3/4) = 4*(x + 1/2)*(x - 3/2)
rivela sia le coordinate del vertice che quelle degli zeri
* V(+ 1/2, - 4)
* A(- 1/2, 0)
* B(+ 3/2, 0)
L'area S del triangolo ABV è il semiprodotto di base (|xA - xB| = 2) e altezza (|yV| = 4) cioè
* S(ABV) = |xA - xB|*|yV|/2 = 4
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Per un difetto nel software di questo sito non posso mettere qui link che contengano segni di addizione, quindi per vedere il grafico (e paragrafo "Solutions") devi accedere alla pagina http://www.wolframalpha.com
e fare Copia/Incolla nella sua casella di input del comando
[y=4*(x-1/2)^2-4,(4*x+y+2)*(y-4*x+6)*y=0]