Integrazione di funzioni razionali frazionarie.

Applichiamo la proprietà di linearità dell'integrale a riguardo delle somme

$ \int \frac{x+1}{x^2-2x+3} \, dx = \int \frac{x}{x^2-2x+3} \, dx + \int \frac{1}{x^2-2x+3} \, dx $

Risolviamo separatamente i due integrali.

a. $ \int \frac{x}{x^2-2x+3} \, dx = \int \frac{x}{(x^2-2x+1) + 2} \, dx = \int \frac{x}{(x-1)^2 + 2} \, dx = $

per sostituzione. Poniamo $t = x-1 \; ⇒ \; x = t +1 \; ⇒ \; dx = dt $ 

$ = \int \frac{t+1}{t^2 + 2} \, dx =  \int \frac{t}{t^2 + 2} \, dx + \int \frac{1}{t^2 + 2} \, dx  = \frac{1}{2} ln|t^2 + 2| + \int \frac{1}{2(1+\frac{t^2}{2})} \, dx = $

$ =\frac{1}{2} ln(t^2 + 2) + \int \frac{1}{2(1+\left(\frac{t}{\sqrt{2}} \right)^2)}  \, dx =  $

per sostituzione. Poniamo $ y = \frac{t}{\sqrt{2}} \; ⇒ \; \sqrt{2} \, dy = dt $

$ = \frac{1}{2} ln(t^2 + 2) + \int \frac{1}{\sqrt{2}(1+y^2)} \, dy =  \frac{1}{2} ln(t^2 + 2) + \frac {1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{(1+y^2)} \, dx =  \frac{1}{2} ln(t^2 + 2) + \frac {1}{\sqrt{2}} arctan y + c =$

$ = \frac{1}{2} ln(t^2 + 2) + \frac {1}{\sqrt{2}} arctan \frac{t}{\sqrt{2}} + c = \frac{1}{2} ln((x-1)^2 + 2) + \frac {\sqrt{2}}{2} arctan{\frac{x-1}{\sqrt{2}}} + c $

b.  $ \int \frac{1}{x^2-2x+3} \, dx = $ 

questo integrale è già stato affrontato e risolto in precedenza, il risultato era:

$ = \frac {\sqrt{2}}{2} arctan \frac{x-1}{\sqrt{2}} + c $

Il risultato dell'integrale dato è la somma dei 3 integrali tra i quali 2 sono eguali, per cui

$ \int \frac{x+1}{x^2-2x+3} \, dx = \frac{1}{2} ln((x-1)^2 + 2) +\sqrt{2} arctan{\frac{x-1}{\sqrt{2}}} + c  = \frac{1}{2} ln(x^2-2x+3) +\sqrt{2} arctan{\frac{x-1}{\sqrt{2}}} + c $