Spiegare i passaggi.
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Livello 2
funzione da integrare: facciamo in modo di poterla spezzare in due addendi.
numeratore: 2x + 1 = (2x + 4) - 3;
2x + 4 è la derivata del denominatore;
(2x + 1) / (x^2 + 4x + 5) = (2x + 4 - 3) / (x^2 + 4x + 5) =
= [(2x + 4) / (x^2 + 4x + 5)] - [3 / (x^2 + 4x + 5)];
consideriamo il denominatore, lo possiamo scrivere come:
(x + 2)^2 + 1 = (x^2 + 2x + 4) + 1 = x^2 + 2x + 5;
Quindi la funzione da integrare diventa:
[(2x + 4) / (x^2 + 4x + 5)] - {3 / [(x + 2)^2 + 1]}
∫[(2x + 4) / (x^2 + 4x + 5)] - 3 * ∫ 1 / [(x + 2)^2 + 1] dx;
nel secondo integrale, sostituiamo (x + 2) = t ; dx =dt;
= ln(x^2 + 4x + 5) - 3 ∫ 1 / [t^2 + 1] dt =
= ln(x^2 + 4x + 5) - 3 arctan(t) + C =
= ln(x^2 + 4x + 5) - 3 arctan(x + 2) + C.
Ciao @alby
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