Integrazione di funzioni razionali frazionarie.

∫((x - 2)/(9·x^2 + 6·x + 1))dx=

=∫(1/(3·(3·x + 1)))dx - ∫(7/(3·(3·x + 1)^2)dx=

=∫(1/(3·x + 1)dx/3 - ∫(7/(3·(3·x + 1)^2)dx=

=LN|3·x + 1|/9 - ∫(7/(3·(3·x + 1)^2))dx=

=LN|3·x + 1|/9 - 7·∫(1/(3·x + 1)^2)dx/3=

=LN|3·x + 1|/9 + 7/(9·(3·x + 1)) + C

$ = \int \frac{x-2}{(3x+1)^2} \, dx = \; ⊳ $

Procediamo con la decomposizione 

$ \frac{x-2}{(3x+1)^2} = \frac{A}{3x+1} + \frac{B}{(3x+1)^2} $

$ x-2 = 3Ax + A + B  $ dalla quale ricaviamo il sistema

$ \left\{\begin{aligned} 3A &= 1 \\ -2 &= \frac{1}{3} + B  \end{aligned} \right. $ 

la soluzione è

$A = \frac{1}{3}$
$B = -\frac{7}{3}$

per cui

$ ⊳ \; = \frac{1}{3} \int \frac{1}{3x+1} \, dx - \frac{7}{3} \int \frac{1}{(3x+1)^2} \, dx = $

Per sostituzione. Poniamo $ 3x+1 = t \; ⇒ \; 3 \, dx = dt \; ⇒ \; dx = \frac{1}{3} dt $

$ = \frac{1}{9} \int \frac{1}{t} \, dt - \frac{7}{9} \int \frac{1}{t^2} \, dt = \frac{1}{9} ln|t| + \frac{7}{9} \frac{1}{t} + c = \frac{1}{9} ln|3x+1| + \frac{7}{9} \frac{1}{3x+1} + c $