Spiegare i passaggi.
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Livello 2
Polinomi dello stesso grado, quindi occorre dividere se vogliamo decomporre.
$ (x^2+2x+1) : (x^2+3x-4) = 1 + \frac{5-x}{x^2+3x-4} $
per cui
$ \int \frac{x^2+2x+1}{x^2+3x-4} \, dx = \int 1 \, dx + \int \frac{5-x}{x^2+3x-4} \, dx = x + \int \frac{5-x}{(x-1)(x+4)} \, dx = \, ⊳ $
Procediamo con la decomposizione dell'integranda di quest'ultimo integrale
$ \frac{5-x}{(x-1)(x+4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+4} $
$ 5-x = Ax+4A+Bx-B $ dalla quale ricaviamo il sistema
$ \left\{\begin{aligned} A+B &= -1 \\ 4A-B &= 5 \end{aligned} \right. $
la soluzione è
$ ⊳ \; = x + \frac{4}{5} \int \frac{1}{x-1} \, dx - \frac{9}{5} \int \frac{1}{x+4} \, dx = x + \frac{4}{5} ln|x-1| - \frac{9}{5} ln|x+4| + c $
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Livello 6