Spiega i passaggi.
Spiega i passaggi.
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punti
Livello 2
Per sostituzione. Poniamo $ t = e^x \; ⇒ \; dt = e^x dx $
$ \int \frac{e^x}{e^{2x}-3e^x+2} \, dx = \int \frac{1}{t^2-3t+2} \, dt =\int \frac{1}{(t-1)(t-2)} \, dt = \;⊳ $
Procediamo con la decomposizione
$ \frac{1}{(t-1)(t-2)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t-2} $
$ 1 = At - 2A +Bt-B $ dalla quale ricaviamo il sistema
$ \left\{\begin{aligned} A+B &= 0 \\ -2A-B &= 1 \end{aligned} \right. $
la soluzione è
$A = -1$
$B = 1$
per cui
$ ⊳ \; = -\int \frac{1}{t-1} \, dt + \int \frac{1}{t-2} \, dt = - ln|t-1|+ ln|x-2| + c = ln|e^x-2| - ln|e^x-1| + c $
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Livello 6