[Risolto] integrali razionali

devi sviluppare il numeratore, che però hai sbagliato. Il numeratore viene

$A(x^2+2x+2)+(Bx+C)(x-1)$

$Ax^2+2Ax+2A+Bx^2-C-Bx+Cx$

$(A+B)x^2+(2A-B+C)x+2A-C$

Questo deve essere uguale al numeratore iniziale, ovvero uguale a $x^2+5x-1$

Quindi devi imporre uguaglianze fra i vari coefficienti:

$A+B=1$

$2A-B+C=5$

$2A-C=-1$

A(x^2 +2x+2)+(Bx+C) (x-1)=x^2 +5x-1

Ax^2 +2Ax+2A +Bx^2 - Bx+Cx-C=x^2 +5x-1

A+B=1

2A-B+C=5

2A-C=-1

Da qui sai proseguire?

Escono un logaritmo e un'arcotangente

3A + C = 6

2A - C = - 1

allora 5A = 5

A = 1

B = 0

C = 3

1/(x-1) + 3/(1+(x+1)^2}

Viene allora

ln|x-1| ÷3 arctg*(x+1)+C

Mi cito dal link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/127180/
«Il solo dettaglio per integrare una funzione razionale fratta con il numeratore di grado inferiore al denominatore (se non è così basta prima calcolare quoziente e resto) è di scomporla in somma di frazioni parziali e poi distribuire l'integrale sulla somma.»
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* f(x) = (x^2 + 5*x - 1)/(x^3 + x^2 - 2) = 3/(x^2 + 2*x + 2) + 1/(x - 1)
* F(x) = ∫ f(x)*dx = 3*∫ dx/(x^2 + 2*x + 2) + ∫ dx/(x - 1) =
= 3*∫ dx/((x + 1)^2 + 1) + ∫ dx/(x - 1) =
= 3*arctg(x + 1) + ln(x - 1) + c
Vedi la Tavola al link
http://it.wikipedia.org/wiki/Tavola_degli_integrali_indefiniti_di_funzioni_razionali
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"... non so come ricavarmi A, B e C."
Applicando il principio d'identità polinomiale.
"potreste spiegarmelo con tutti i passaggi?"
* (B*x + C)/(x^2 + 2*x + 2) + A/(x - 1) =
= ((B*x + C)*(x - 1) + A*(x^2 + 2*x + 2))/((x^2 + 2*x + 2)*(x - 1)) =
= ((A + B)*x^2 + (2*A - B + C)*x + (2*A - C))/(x^3 + x^2 - 2)
dovendo essere
* f(x) = (x^2 + 5*x - 1)/(x^3 + x^2 - 2) = ((A + B)*x^2 + (2*A - B + C)*x + (2*A - C))/(x^3 + x^2 - 2) ≡
≡ x^2 + 5*x - 1 = (A + B)*x^2 + (2*A - B + C)*x + (2*A - C) ≡
≡ (A + B = 1) & (2*A - B + C = 5) & (2*A - C = - 1) ≡
≡ (A = 1) & (B = 0) & (C = 3)