[Risolto] Integrali indefiniti

Ciao!

$$ \int \frac{e^x}{\sqrt{e^x+1}} dx $$

Usiamo la sostituzione $ t = e^x \Rightarrow dt = e^x dx $ quindi otteniamo

$\int \frac{1}{\sqrt{t+1} } dt $

Sappiamo che derivando $\sqrt{t+1}$ otterremmo:

$D(\sqrt{t+1}) = \frac{1}{2\sqrt{t+1}}$

quindi moltiplichiamo per $2$ sia al numeratore che al denominatore:

$\int \frac{2}{2\sqrt{t+1}} dt = $2 \int \frac{1}{2\sqrt{t+1}} dt  =$

$= 2 \sqrt{t+1} +C$

e, risostituendo: $2 \sqrt{e^x+1} +C $

$$ \int x \cdot e^x dx $$

è il classico integrale che si fa per parti! Ricordiamo la fomula:

$ \int {f \cdot g} = F \cdot g - \int F \cdot g'$ 

dove con $F =$ primitiva di $f$.

Nel nostro caso la primitiva di $e^x$ è ancora $e^x$ (motivo per cui si usa questo tipo di integrazione in questo caso), ottenendo:

$e^x \cdot x - \int e^x \cdot 1 dx = e^x \cdot x - e^x + C $

dove $1$ dentro l'integrale lo otteniamo derivando $x$.

Possiamo anche raccogliere $e^x$ se vogliamo scriverlo meglio, ottenendo

$e^x(x-1) +C $

$$ \int log(\sqrt{x+1}) dx $$

Sostituiamo $t = \sqrt{x+1} \Rightarrow t^2-1 = x $

da cui: $ 2t dt = dx $

quindi:

$\int log(t) \cdot 2t \ dt $

Integriamo ancora per parti, integrando per $2t$ e derivando poi, dentro l'integrale, il logaritmo:

$2 \frac{t^2}{2} \cdot log(t) - \int (2 \frac{t^2}{2}) \cdot \frac{1}{t} dt =

$ t^2 \cdot \cdot log(t) - \int t dt = t^2 \cdot log(t) - \frac{t^2}{2} +C $

Risostituiamo:

$(\sqrt{x+1})^2 \cdot log(\sqrt{x+1}) - \frac{ (\sqrt{x+1})^2}{2} + C = $
$ (x+1) \cdot \log(\sqrt{x+1}) - \frac{x+1}{2} + C =$

$ (x+1) (\log(\sqrt{x+1}) -\frac12) +C $

Il primo integrale è immediato; lo puoi fare per sostituzione $t=e^x$

$dt/dx=e^x$ --> $dt=e^x dx$

risulta:

$\int{e^x/\sqrt{e^x+1} dx}$ = $\int{1/\sqrt{t+1} dt}$

la cui primitiva è nota e vale $F(t)=\sqrt{t+1}+C$ e quindi $F(x)=\sqrt{e^x+1}+C$ 

Anche il secondo è praticamente immediato, si fa per parti e poni

$g(x)=x$  --> $g'(x)=1$

$f'(x)=e^x$ --> $f(x)=e^x$

$\int{xe^x dx}=xe^x-\int{e^x dx}=xe^x-e^x$

il risultato è quindi $F(x)=e^x (x-1)+C$