Stabilisci per quali valori del parametro reale $\alpha$ l'integrale $\int_\epsilon^{+-} \frac{1}{x(\ln x)^a} d x$ converge e, per tali valori di $\alpha$, calcola l'integrale.
$$
\left[\alpha>1 ; \frac{1}{\alpha-1}\right]
$$
Risolvere l'integrale SENZA la tecnica X SOSTITUZIONE.
Gentilmente spiegare i passaggi.
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Livello 2
Possiamo calcolarlo riconoscendo
lim_u->+oo S_[e,u] (ln(x))^(-a) d(ln x) =
= lim_u->+oo [ ln (x)^(-a+1)/(-a+1) ]_[e,u] =
= 1/(1-a) lim_u->+oo [ ln(u)^(-a+1) - (ln(e))^(-a+1) ] =
= 1/(a-1) * [ 1 - lim_u->+oo ln(u)^(-a+1) ]
il limite di ln u per u->+oo é +oo essendo e > 1
l'esponente deve essere negativo perché l'integrale converga
Allora -a + 1 < 0 => a - 1 > 0 => a > 1
In questo caso il limite del secondo addendo é zero
e il valore dell'integrale improprio risulta 1/(a-1)
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Livello 7
