Integrali impropri

$ \int_0^1 x^α ln(x) \, dx = $

Applichiamo la definizione di integrale improprio.

$ = \displaystyle\lim_{ε \to 0^+} \int_ε^1 x^α ln(x) \, dx = $

a.  Affrontiamolo per parti se α > -1

fattore finito. $ f(x) = ln(x)  \; ⇒ \; f'(x) = \frac{1}{x} $
fattore differ. $ g'(x) = x^α \; ⇒ \; g(x) = \frac{x^{α+1}}{α+1}  $

per cui

$ = \displaystyle\lim_{ε \to 0^+} \left. \frac{x^{α+1}}{α+1} ln(x) -\frac{1}{α+1} \int_ε^1 x^α \, dx  \right|_ε^1 =$

$ = \displaystyle\lim_{ε \to 0^+} \left. \frac{x^{α+1}}{α+1} ln(x) -\frac{x^{α+1}}{(α+1)^2}  \right|_ε^1 =$

$ = \displaystyle\lim_{ε \to 0^+} 0-\frac{1}{(α+1)^2}- \frac{ε^{α+1}}{α+1} ln(ε) + \frac{ε^{α+1}}{(α+1)^2} = -\frac{1}{(α+1)^2} $

L'integrale è convergente per α > -1

b. Se α ≤ -1

L'integrale può essere scritto come

$ \int_0^1 \frac{ln(x)}{x^{-α}} \, dx$ 

Cambio di parametro β = - α

$ \int_0^1 \frac{ln(x)}{x^β} \, dx $   con β ≥ 1

l'integrale è divergente lo si dimostra sviluppandolo per parti come nel caso precedente.