Integrali impropri

Questo é lim_u->-oo   S_[u, 0] e^x/(1 + e^x) dx =

= lim_u->-oo  [ ln ( 1 + e^x) ]_[u,0] =

= ln (1 + 1) - lim_u->-oo  ln (1 + e^x) =

= ln 2 - ln 1 = ln 2

∫(e^x/(1 + e^x)dx= LN(e^x + 1)

integrata fra -∞, 0

LN(2)

Io uso la seguente antiquata nomenclatura (nomi, simboli, sintassi)
* f(x) = l'integranda
* F(x) = ∫ f(x)*dx = la famiglia delle primitive, l'integrale indefinito
* I(f, a, b) = ∫ [x = a, b] f(x)*dx = F(b) - F(a) = l'integrale definito
---------------
Se almeno una F(q) è indefinita allora I(f, a, b) si chiama integrale improprio e al posto di F(q) si calcola lim_(x → q) F(x).
------------------------------
396) f(x) = 1/√(x + 2); (a, b) = (1, + ∞).
* F(x) = 2*(x + 2) + c
* F(+ ∞): lim_(x → + ∞) (2*(x + 2) + c) = + ∞
* F(1) = 6 + c
* I(f, 1, + ∞) = + ∞ - 6 - c = + ∞
------------------------------
400) f(x) = e^x/√(1 + e^x); (a, b) = (- ∞, 0).
* F(x) = 2*√(1 + e^x) + c
* F(0) = 2*√2 + c
* F(- ∞): lim_(x → - ∞) (2*√(1 + e^x) + c) = 2 + c
* I(f, - ∞, 0) = (2*√2 + c) - (2 + c) = 2*(√2 - 1)
------------------------------
401) f(x) = 1/(x^2 - 9); (a, b) = (0, 3).
* F(x) = (ln(3 - x) - ln(3 + x))/6 + c
NB: ln(u) è indefinito per u = 0; per u < 0 ha valore complesso.
* F(3): lim_(x → 3) ((ln(3 - x) - ln(3 + x))/6 + c) = - ∞
* F(0) = 0 + c
* I(f, 0, 3) = - ∞