Integrali e studio di funzione

a.   

• Dominio = ℝ\{α} con α = {x∈ℝ | e^x+x = 0}. Dallo studio della funzione y = e^x + x segue che α∈(-1,0)

• Comportamento della funzione f(x) alla frontiera
  • $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$  (asintoto orizzontale sinistro di equazione y = 0)
  • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$  (asintoto orizzontale destro di equazione y = 1)
  • $\displaystyle\lim_{x \to α^-} f(x) = -\infty$  
  • $\displaystyle\lim_{x \to α^+} f(x) = +\infty$ (asintoto verticale di equazione x=α)

• Segno f(x)
  • f(x) < 0  per x < 0
  • f(x) = 0  Ø
  • f(x) > 0  per x > 0

• Massimi/minimi globali f(x)
  • inf f(x) = -∞    Non esiste minimo globale
  • sup f(x) = ∞    Non esiste massimo globale

• Massimi/minimi relativi f(x)
  • derivata prima. $f'(x) = \frac{e^x(x-2)-1}{(e^x+x)^2}$
  • Punti stazionari. $ f'(x) = 0 \; ⇒ \; e^x(x-2) = 1$
  • dallo studio di funzione $y(x) = e^x(x-2) - 1$ segue che ammette un solo zero, che indichiamo con β. Lo zero β∈(2,3)
  • Segno derivata prima.
    • f'(x) < 0 per x < β    ⇒  f(x) è decrescente in (α, β) 
    • f'(x) = 0 per x = β
    • f'(x) > 0 per x > β    ⇒  f(x) è crescente in (β, +∞)
      • f(x) ammette un minimo relativo in β.

• Grafico.

b.

Si tratta di valutare l'integrale improprio definito nel 1° quadrante.

$ A = \int_1^{+\infty} \; 1- \frac{e^x +1}{e^x+x} \, dx $ 

$ A = \displaystyle\lim_{t \to +\infty} \int_1^t \; 1- \frac{e^x +1}{e^x+x} \, dx $

$ A = \displaystyle\lim_{t \to +\infty} \left. x-log(x+e^x) \right|_1^t $

$ A = \displaystyle\lim_{t \to +\infty} t-log(t+e^t) - 1 + log(1+e) $

$ A = - 1 + log(1+e) $

Infatti,

$ \displaystyle\lim_{t \to +\infty} t-log(t+e^t) = 0 $