Calcoliamo il volume del solido $V$ compreso tra il paraboloide di equazione $z=x^2+y^2$ e il piano di equazione $z=2$ (figura 14). Tale volume è
$$
\text { volume }=\iiint_V 1 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=
$$
Perchè la funzione integranda è 1
Oltre vostra risposta mandatemi links
104
punti
Livello 1
Per una ragione molto semplice. In coordinate cartesiane l'elemento infinitesimo di volume é dx dy dz
e l'integrale triplo di questo equivale al limite della somma di tutti gli elementi contenuti nel dominio.
Se l'integranda non fosse 1, ogni volumetto elementare verrebbe pesato con un valore differente
che dipende da dove si trova. Questo é quello che succede ad esempio se si deve calcolare una massa
distribuita su un volume in modo non omogeneo conoscendo l'andamento della densità rispetto alla
posizione.
Nell'esempio riportato é presente una simmetria di rotazione per cui conviene descrivere il dominio
in coordinate cilindriche.
x^2 + y^2 = z
0 < z < 2
0 < @ < 2 pi
dx dy = r dr d@
S_[0, rad(z)] r S_[0,2pi] d@ S_[0,2] dz dr =
= 2pi S_[0,2] [r^2/2]_[0, sqrt(z)] dz =
= pi S_[0,2] z dz = pi [z^2/2]_[0,2] = pi/2 * 4 = 2 pi unità cubiche
E' corretto perché se si fissa la traccia z = x^2 nel piano y = 0
e poi la si fa ruotare , allora x = sqrt(z) => x^2 = z
e V = pi S_[0,2] z dz = pi [z^2/2]_[0,2] = pi/2 * 4 = 2pi
50802
punti
Livello 7
