Integrali doppi

Problema:

Calcolare il seguente integrale doppio: $\iint_D (1+4(x²+y²))\sqrt{1+4x²+4y²}dxdy$, ove $D=\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 1<x^2+y^2≤4 \}$.

Soluzione:

Consiglio di inserire immagini leggibili dall'anteprima, per copiare il testo dell'esercizio ci ho messo molto da telefono.

Il dominio sul quale integrare è una corona circolare, il cerchio interno ha raggio unitario mentre il cerchio esterno ha raggio pari a $2$.

L'idea è quella di passare alle coordinate polari in modo da integrare su un banale rettangolo. Si ha innanzitutto che $(\rho, \theta) \in [1,2] \times [0, 2π]$. La trasformazione a dominio polare si ottiene ponendo $x = \rho \cos \theta$, $y=\rho \sin \theta$. Lo jacobiano è pari a $\rho$, si ha quindi:

$\iint_D (1+4(x²+y²)) \sqrt{1+4x²+4y²} dx dy=\int_1^2 \int_0^{2π} (1+4\rho ²) \sqrt{1+4\rho ^2} \rho d \theta d \rho=\int_1^2 2π (1+4\rho ²)\sqrt{1+4\rho ^2} \rho d \rho= \int_1^2 2π (1+4 \rho ²)^{\frac{3}{2}} \rho d \rho$.

Si pone $r=1+4\rho ² \implies dr=8 \rho d \rho$, l'integrale diventa quindi

$\int_1^2 2π (1+4 \rho ²)^{\frac{3}{2}} \rho d \rho= 2\pi \int_5^{17} r^{\frac{3}{2}} \frac{dr}{8}=\pi \int_5^{17} r^{\frac{3}{2}} \frac{dr}{4}= \pi [\frac{ r^{\frac{5}{2}}}{10}]^{17}_{5} = \pi \frac{ 17^{\frac{5}{2}}-5^{\frac{5}{2}}}{10}$.