Spiegare i ragionamenti, passaggi e argomentare.
Spiegare i ragionamenti, passaggi e argomentare.
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Livello 2
Problema:
Risolvere la seguente equazione differenziale lineare del primo ordine:
$y'-y=e^x$
Soluzione:
Questa tipologia di equazioni, ossia quelle nella forma $y'+a(x)y=b(x)$, si risolve tramite il metodo del fattore di integrazione; generalmente la dimostrazione della relazione che segue si trova sui manuali delle superiori.
Le soluzioni sono descritte da:
$y=e^{-A(x)}\int b(x)e^{A(x)}dx$, ove $A(x)=\int a(x) dx$.
Nel caso in questione si ha che $a(x)=-1 \to A(x)=-x+C, b(x)=e^x$. Sostituendo si ottiene:
$y=e^{x} \int e^{-x} \times e^x dx = e^x \int 1 dx= e^x(x+C)$. Generalmente si preferisce inserire la costante di integrazione solo nell'integrale principale della relazione.
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Livello 6